Физическое тело, скатывающееся с горки с некоторой начальной скоростью, за 3 3 секунды проходит 2 2 м, а в следующие 3 3 секунды — 4 4 м. Считая движение равноускоренным, найди начальную скорость тела. Запиши в поле ответа верное число, округлив до сотых.
Для решения этой задачи используем уравнения движения с постоянным ускорением. Дано:
- За первые 3 секунды тело проходит 2 метра.
- За следующие 3 секунды (т.е. на интервале времени от 3 до 6 секунд) проходит 4 метра.
Обозначим:
- \( v_0 \) — начальная скорость (время \( t = 0 \))
- \( a \) — ускорение
За первые 3 секунды проедем 2 метра. Используем уравнение движения:
\[ S_1 = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2 \]
Подставим значения:
\[ 2 = v_0 \cdot 3 + \frac{1}{2} a \cdot 3^2 \]
Это уравнение можно упростить:
\[ 2 = 3v_0 + \frac{9}{2} a \quad (1) \]
Теперь найдём путь, пройденный за интервал времени от 3 до 6 секунд. Обозначим путь за этот интервал как \( S_2 \):
\[ S_2 = S(t=6) - S(t=3) \]
Сначала найдем \( S(t=6) \):
\[ S(t=6) = v_0 \cdot 6 + \frac{1}{2} a \cdot 6^2 \]
Теперь вычислим \( S(t=3) \):
\[ S(t=3) = v_0 \cdot 3 + \frac{1}{2} a \cdot 3^2 \]
Тогда:
\[ S_2 = \left( v_0 \cdot 6 + \frac{1}{2} a \cdot 36 \right) - \left( v_0 \cdot 3 + \frac{1}{2} a \cdot 9 \right) \]
Упрощаем:
\[ S_2 = 3v_0 + \frac{1}{2} a \cdot (36 - 9) = 3v_0 + \frac{27}{2} a \]
Так как \( S_2 = 4 \) метра, можем записать:
\[ 4 = 3v_0 + \frac{27}{2} a \quad (2) \]
Теперь у нас есть система из двух уравнений:
- \( 2 = 3v_0 + \frac{9}{2} a \)
- \( 4 = 3v_0 + \frac{27}{2} a \)
Вычтем уравнение (1) из уравнения (2):
\[ 4 - 2 = (3v_0 + \frac{27}{2} a) - (3v_0 + \frac{9}{2} a) \]
Тогда получаем:
\[ 2 = \frac{27}{2} a - \frac{9}{2} a \]
Сокращаем:
\[ 2 = \frac{18}{2} a \]
Упрощаем:
\[ 2 = 9a \quad \Rightarrow \quad a = \frac{2}{9} \, \text{м/с}^2 \]
Теперь подставим найденное значение ускорения в одно из уравнений, например (1):
\[ 2 = 3v_0 + \frac{9}{2} \cdot \frac{2}{9} \]
Упрощаем:
\[ 2 = 3v_0 + 1 \]
Теперь решаем для \( v_0 \):
\[ 3v_0 = 1 \quad \Rightarrow \quad v_0 = \frac{1}{3} \, \text{м/с} \]
Теперь округлим до сотых:
\[ v_0 \approx 0.33 \, \text{м/с} \]
Таким образом, начальная скорость тела составляет 0.33 м/с.
