По цели проводится 5 независимых выстрелов. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,2. Для поражения цели достаточно трех попаданий. Какова вероятность того, что цель будет поражена?
Для решения этой задачи мы можем использовать биномиальное распределение, так как у нас есть фиксированное количество независимых испытаний (выстрелов) с двумя возможными исходами (попадание или промах).
В данной задаче:
- Обозначим \( n = 5 \) (количество выстрелов),
- Обозначим \( p = 0,2 \) (вероятность попадания при каждом выстреле),
- Обозначим \( k \) (число успешных попаданий), которое должно быть не меньше 3 для поражения цели.
Нас интересуют случаи, когда количество попаданий составляет 3, 4 или 5. Мы будем использовать формулу биномиального распределения:
\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \]
где \( \binom{n}{k} \) — биномиальный коэффициент, равный количеству способов выбрать \( k \) успешных исходов из \( n \).
Теперь вычислим:
Вероятность ровно 3 попаданий (\( k = 3 \)): \[ P(X = 3) = \binom{5}{3} (0,2)^3 (0,8)^2 = 10 \cdot 0,008 \cdot 0,64 = 0,0512 \]
Вероятность ровно 4 попаданий (\( k = 4 \)): \[ P(X = 4) = \binom{5}{4} (0,2)^4 (0,8)^1 = 5 \cdot 0,0016 \cdot 0,8 = 0,0064 \]
Вероятность ровно 5 попаданий (\( k = 5 \)): \[ P(X = 5) = \binom{5}{5} (0,2)^5 (0,8)^0 = 1 \cdot 0,00032 \cdot 1 = 0,00032 \]
Теперь сложим вероятности для 3, 4 и 5 попаданий: \[ P(\text{поражение цели}) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) \] \[ P(\text{поражение цели}) = 0,0512 + 0,0064 + 0,00032 = 0,05792 \]
Таким образом, вероятность того, что цель будет поражена, составляет примерно \( 0,05792 \) или \( 5,792\% \).
