25 октября Контрольная работа № 1 по теме «Уравнения с одной переменной» I Вариант 1 1. Решите уравнение: a) x+8 4x-2 =0 б) x2-18x=0; 2. Решите уравнение. a)x'-81 x=0; б) 4x3 - x2 + 36 - 9x = 0; 3. Решите биквадратное уравнение: a) x2 +6x2 - 27 = 0; б) x2- 2x2 - 3 = 0. 4. Решите дробное рациональное уравнение: a) 30 x-1 x+16) x+1 x+11, 5 4 5. Два велосипедиста одновременно отправляются в 60-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 10 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 3 часа раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым.
Конечно! Давайте разберем каждую задачу по порядку.
1. Решите уравнение:
а) \( x + 8 - 4x - 2 = 0 \)
Сначала упростим уравнение:
\[ x - 4x + 8 - 2 = 0 \] \[ -3x + 6 = 0 \] Теперь приведем уравнение к нормальной форме:
\[ -3x = -6 \] \[ x = 2 \]
Ответ: \( x = 2 \)
б) \( x^2 - 18x = 0 \)
Вынесем \( x \) за скобки:
\[ x(x - 18) = 0 \]
Это уравнение имеет два решения:
- \( x = 0 \)
- \( x - 18 = 0 \) → \( x = 18 \)
Ответ: \( x = 0 \) и \( x = 18 \)
2. Решите уравнение.
а) \( x^2 - 81 = 0 \)
Это разность квадратов:
\[ (x - 9)(x + 9) = 0 \]
Решения:
- \( x - 9 = 0 \) → \( x = 9 \)
- \( x + 9 = 0 \) → \( x = -9 \)
Ответ: \( x = 9 \) и \( x = -9 \)
б) \( 4x^3 - x^2 + 36 - 9x = 0 \)
Сначала упрощаем уравнение:
\[ 4x^3 - x^2 - 9x + 36 = 0 \]
Проверим, можем ли мы найти корни с помощью подбора. Попробуем \( x = 3 \):
\[ 4(3)^3 - (3)^2 - 9(3) + 36 = 0 \] \[ 4(27) - 9 - 27 + 36 = 0 \] \[ 108 - 9 - 27 + 36 = 0 \]
Это верно, значит \( x = 3 \) является корнем. Мы можем разделить многочлен на \( x - 3 \) для нахождения других корней.
Результат деления получается:
\[ 4x^2 + 11x - 12 = 0 \]
Решим это уравнение с помощью дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac = 11^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-12) = 121 + 192 = 313 \]
Корни:
\[ x = \frac{-11 \pm \sqrt{313}}{2 \cdot 4} \]
Ответ: \( x = 3 \) и два других корня, которые можно выразить через дискриминант.
3. Решите биквадратное уравнение:
а) \( x^4 + 6x^2 - 27 = 0 \)
Обозначим \( y = x^2 \):
\[ y^2 + 6y - 27 = 0 \]
Решаем это уравнение с помощью дискриминанта:
\[ D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-27) = 36 + 108 = 144 \]
Корни:
\[ y = \frac{-6 \pm 12}{2} \] Таким образом, \( y_1 = 3 \), \( y_2 = -9 \). Поскольку \( y = x^2 \), то \( x = \pm\sqrt{3} \) для \( y_1 \) и для \( y_2 \) нет действительных решений.
Ответ: \( x = \sqrt{3} \) и \( x = -\sqrt{3} \)
б) \( x^4 - 2x^2 - 3 = 0 \)
Аналогично:
\[ y^2 - 2y - 3 = 0 \]
Дискриминант:
\[ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \]
Корни:
\[ y = \frac{2 \pm 4}{2} \] Получаем \( y_1 = 3 \) и \( y_2 = -1 \).
Ответ: \( x = \pm\sqrt{3} \) для \( y_1 \) и \( y_2 \) не имеет действительных решений.
4. Решите дробное рациональное уравнение:
На данный момент уравнение выглядит не вполне корректно. Пожалуйста, уточните его, чтобы я мог помочь.
5. Задача о велосипедистах:
Обозначим скорость второго велосипедиста за \( x \) км/ч. Тогда скорость первого велосипедиста будет \( x + 10 \) км/ч.
Согласно условию, время, которое потратил второй велосипедист на проезд 60 км, можно выразить как:
\[ \frac{60}{x} \]
Время, которое потратил первый велосипедист, будет:
\[ \frac{60}{x + 10} \]
Из условия задачи мы знаем, что первый велосипедист приехал на 3 часа раньше:
\[ \frac{60}{x} - \frac{60}{x + 10} = 3 \]
Приведем уравнение к общему знаменателю:
\[ \frac{60(x + 10) - 60x}{x(x + 10)} = 3 \] \[ \frac{600}{x(x + 10)} = 3 \]
Упрощаем:
\[ 600 = 3x(x + 10) \] \[ 3x^2 + 30x - 600 = 0 \]
Разделим всё на 3:
\[ x^2 + 10x - 200 = 0 \]
Решаем с помощью дискриминанта:
\[ D = 10^2 + 4 \cdot 200 = 100 + 800 = 900 \]
Корни:
\[ x = \frac{-10 \pm 30}{2} \]
Получаем:
- \( x = 10 \)
- \( x = -20 \) (не имеет смысла в данном контексте).
Ответ: скорость второго велосипедиста составляет \( x = 10 \) км/ч.
Если остались вопросы или нужна помощь с другими задачами, не стесняйтесь писать!
