Найдите НОД чисел 1800 и 165 с помощью разложения на простые множетели.

Для нахождения наибольшего общего делителя (НОД) чисел 1800 и 165 с помощью разложения на простые множители, следуем этим шагам:

1. Разложим число 1800 на простые множители:

   • 1800 делится на 2: \( 1800 \div 2 = 900 \)
   • 900 делится на 2: \( 900 \div 2 = 450 \)
   • 450 делится на 2: \( 450 \div 2 = 225 \)
   • 225 делится на 3: \( 225 \div 3 = 75 \)
   • 75 делится на 3: \( 75 \div 3 = 25 \)
   • 25 делится на 5: \( 25 \div 5 = 5 \)
   • 5 делится на 5: \( 5 \div 5 = 1 \)

   Таким образом, разложение на простые множители числа 1800 выглядит так: \[ 1800 = 2^3 \times 3^2 \times 5^2 \]

2. Теперь разложим число 165 на простые множители:

   • 165 делится на 3: \( 165 \div 3 = 55 \)
   • 55 делится на 5: \( 55 \div 5 = 11 \)
   • 11 является простым числом и делится только на 1 и на себя.

   Таким образом, разложение на простые множители числа 165 выглядит так: \[ 165 = 3^1 \times 5^1 \times 11^1 \]

3. Теперь найдем НОД, выбирая минимальные степени общих простых множителей:

   • Общие простые множители: 3 и 5.
   • Для 3: минимальная степень \( \min(2, 1) = 1 \)
   • Для 5: минимальная степень \( \min(2, 1) = 1 \)

   Поэтому НОД будет: \[ НОД(1800, 165) = 3^1 \times 5^1 = 3 \times 5 = 15 \]

Таким образом, наибольший общий делитель чисел 1800 и 165 равен 15.