Даны четыре точки А(4;2;-3) В(2;-4;0) С(2;5;3) D(1;-2;-1) найдите косинус угла у между векторами АВ и СD

Чтобы найти косинус угла между векторами \(\vec{AB}\) и \(\vec{CD}\), сначала нужно определить эти векторы.

1. Находим вектор \(\vec{AB}\):

\[ \vec{AB} = B - A = (2 - 4; -4 - 2; 0 - (-3)) = (-2; -6; 3) \]

2. Находим вектор \(\vec{CD}\):

\[ \vec{CD} = D - C = (1 - 2; -2 - 5; -1 - 3) = (-1; -7; -4) \]

Теперь у нас есть векторы \(\vec{AB} = (-2; -6; 3)\) и \(\vec{CD} = (-1; -7; -4)\).

3. Рассчитаем скалярное произведение векторов \(\vec{AB}\) и \(\vec{CD}\):

\[ \vec{AB} \cdot \vec{CD} = (-2) \cdot (-1) + (-6) \cdot (-7) + 3 \cdot (-4) = 2 + 42 - 12 = 32 \]

4. Найдем длины векторов \(\vec{AB}\) и \(\vec{CD}\):

\[ |\vec{AB}| = \sqrt{(-2)^2 + (-6)^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 36 + 9} = \sqrt{49} = 7 \]

\[ |\vec{CD}| = \sqrt{(-1)^2 + (-7)^2 + (-4)^2} = \sqrt{1 + 49 + 16} = \sqrt{66} \]

5. Теперь можем найти косинус угла \(u\) между векторами:

\[ \cos u = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{CD}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{CD}|} = \frac{32}{7 \cdot \sqrt{66}} \]

Таким образом, косинус угла между векторами \(\vec{AB}\) и \(\vec{CD}\) равен:

\[ \cos u = \frac{32}{7\sqrt{66}} \]

Это и есть искомый результат!