ABDC — прямоугольник. Точка Е — середина CD, FE ⊥ ABC. Найдите угол между отрезком FB и плоскостью прямоугольника ABCD, если BC = √6, DC = 2√6, FE = 2
Чтобы решить задачу, начнём с описания фигуры и необходимых данных. У нас есть прямоугольник ABCD, где:
- BC = √6
- DC = 2√6
Это значит, что стороны AB и CD равны √6, а стороны AD и BC равны 2√6. Мы также знаем, что точка Е — это середина отрезка CD, следовательно, длина отрезка CE равна 2√6 / 2 = √6.
Точка F расположена так, что отрезок FE перпендикулярен плоскости ABCD. Длина отрезка FE равна 2, и это означает, что точка F находится на расстоянии 2 единицы выше точки E.
Теперь найдём угол между отрезком FB и плоскостью прямоугольника ABCD. Для этого нам нужно определить вектор FB и нормальный вектор к плоскости ABCD.
Найдем координаты точек:
- A(0, 0, 0)
- B(√6, 0, 0)
- C(√6, 2√6, 0)
- D(0, 2√6, 0)
- E(√6, 2√6, 0) (середина отрезка CD)
- F(√6, 2√6, 2)
Векторы: Вектор FB можно найти как: \[ \vec{FB} = \vec{B} - \vec{F} = (\sqrt{6}, 0, 0) - (\sqrt{6}, 2\sqrt{6}, 2) = (0, -2\sqrt{6}, -2) \]
Нормальный вектор к плоскости ABCD: Плоскость ABCD находится в уровне z = 0, поэтому нормальный вектор к этой плоскости будет: \[ \vec{n} = (0, 0, 1) \]
Нам нужно найти угол между вектором FB и нормальным вектором к плоскости. Используем формулу для вычисления косинуса угла между двумя векторами: \[ \cos(\theta) = \frac{\vec{FB} \cdot \vec{n}}{|\vec{FB}| |\vec{n}|} \]
Найдем скалярное произведение: \[ \vec{FB} \cdot \vec{n} = (0) \cdot (0) + (-2\sqrt{6}) \cdot (0) + (-2) \cdot (1) = -2 \]
Теперь найдём модуль вектора FB: \[ |\vec{FB}| = \sqrt{(0)^2 + (-2\sqrt{6})^2 + (-2)^2} = \sqrt{0 + 24 + 4} = \sqrt{28} = 2\sqrt{7} \]
А модуль вектора n: \[ |\vec{n}| = 1 \]
Теперь подставим всё в формулу: \[ \cos(\theta) = \frac{-2}{2\sqrt{7} \cdot 1} = \frac{-1}{\sqrt{7}} \]
Теперь найдём угол θ: \[ \theta = \cos^{-1}\left(-\frac{1}{\sqrt{7}}\right) \]
Таким образом, угол между отрезком FB и плоскостью прямоугольника ABCD равен \( \theta = \cos^{-1}\left(-\frac{1}{\sqrt{7}}\right) \).
