В сосуде содержится смесь двух газов одинаковой массы, причем молярная масса первого из них втрое меньше, чем второго. Число молекул первого газа превышает число молекул второго ∆N=4*1022. Найти число молекул N1 и N2 каждого газа в отдельности.
Для решения задачи начнем с обозначений:
Пусть:
- \( M_1 \) — молярная масса первого газа,
- \( M_2 = 3M_1 \) — молярная масса второго газа (так как молярная масса первого газа втрое меньше).
- \( m \) — масса каждого газа (одинаковая).
Согласно уравнению состояния идеального газа, число моль газа можно вычислить по формуле:
\[ n = \frac{m}{M} \]
Отсюда можно выразить число молекул газа \( N \):
\[ N = n \cdot N_A \] где \( N_A \) — число Авогадро (\( N_A \approx 6.022 \times 10^{23} \) моль⁻¹).
Для каждого газа имеем:
Для первого газа: \[ n_1 = \frac{m}{M_1} \implies N_1 = n_1 \cdot N_A = \frac{m}{M_1} \cdot N_A \]
Для второго газа: \[ n_2 = \frac{m}{M_2} \implies N_2 = n_2 \cdot N_A = \frac{m}{M_2} \cdot N_A = \frac{m}{3M_1} \cdot N_A \]
Следовательно: \[ N_1 = \frac{m}{M_1} \cdot N_A \] \[ N_2 = \frac{m}{3M_1} \cdot N_A \]
Тогда, чтобы выразить числа молекул, можно всё подставить в уравнение с разностью числа молекул:
\[ N_1 - N_2 = \Delta N = 4 \times 10^{22} \]
Подставляем:
\[ \frac{m}{M_1} \cdot N_A - \frac{m}{3M_1} \cdot N_A = 4 \times 10^{22} \]
Упростим это уравнение:
\[ N_A \cdot \left( \frac{m}{M_1} - \frac{m}{3M_1} \right) = 4 \times 10^{22} \]
Вынесем \( \frac{m \cdot N_A}{M_1} \):
\[ \frac{m \cdot N_A}{M_1} \cdot \left(1 - \frac{1}{3}\right) = 4 \times 10^{22} \]
Это равносильно:
\[ \frac{m \cdot N_A}{M_1} \cdot \frac{2}{3} = 4 \times 10^{22} \]
Умножим обе стороны на \( \frac{3}{2} \):
\[ \frac{m \cdot N_A}{M_1} = 6 \times 10^{22} \]
Теперь подставляйте значение обратно в формулы для \( N_1 \) и \( N_2 \):
\[ N_1 = \frac{m}{M_1} \cdot N_A = 6 \times 10^{22} \]
\[ N_2 = \frac{m}{3M_1} \cdot N_A = \frac{6 \times 10^{22}}{3} = 2 \times 10^{22} \]
Таким образом, отвечая на вопрос:
- Число молекул первого газа \( N_1 = 6 \times 10^{22} \),
- Число молекул второго газа \( N_2 = 2 \times 10^{22} \).
