8.2. Вероятность попадания стрелка в мишень при одном выстреле р=0,8. Стрелок делает 7 выстрелов Случайная величина Х — количество попаданий в мишень. Составить ряд распределения Х, найти

Для данной задачи мы имеем стрелка, который делает 7 выстрелов с вероятностью попадания в мишень \( p = 0,8 \). Случайная величина \( X \) представляет количество попаданий в мишень и может принимать значения от 0 до 7.

Поскольку мы имеем дело с неоднократными независимыми испытаниями, задача может быть решена с помощью биномиального распределения. Формула для вычисления вероятности того, что стрелок попадет в мишень \( k \) раз из \( n \) выстрелов, выглядит следующим образом:

\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \]

где:

• \( n = 7 \) — общее число выстрелов,
• \( k \) — количество попаданий (от 0 до 7),
• \( p = 0,8 \) — вероятность успешного попадания,
• \( \binom{n}{k} \) — биномиальный коэффициент, который рассчитывается как \( \frac{n!}{k!(n-k)!} \).

Теперь давайте составим ряд распределения \( X \):

1. Для \( k = 0 \): \[ P(X = 0) = \binom{7}{0} (0,8)^0 (0,2)^7 = 1 \times 1 \times 0,000128 = 0,000128 \]

2. Для \( k = 1 \): \[ P(X = 1) = \binom{7}{1} (0,8)^1 (0,2)^6 = 7 \times 0,8 \times 0,000064 = 0,0003584 \]

3. Для \( k = 2 \): \[ P(X = 2) = \binom{7}{2} (0,8)^2 (0,2)^5 = 21 \times 0,64 \times 0,00032 = 0,004096 \]

4. Для \( k = 3 \): \[ P(X = 3) = \binom{7}{3} (0,8)^3 (0,2)^4 = 35 \times 0,512 \times 0,0016 = 0,0896 \]

5. Для \( k = 4 \): \[ P(X = 4) = \binom{7}{4} (0,8)^4 (0,2)^3 = 35 \times 0,4096 \times 0,008 = 0,114688 \]

6. Для \( k = 5 \): \[ P(X = 5) = \binom{7}{5} (0,8)^5 (0,2)^2 = 21 \times 0,32768 \times 0,04 = 0,278528 \]

7. Для \( k = 6 \): \[ P(X = 6) = \binom{7}{6} (0,8)^6 (0,2)^1 = 7 \times 0,262144 \times 0,2 = 0,3670016 \]

8. Для \( k = 7 \): \[ P(X = 7) = \binom{7}{7} (0,8)^7 (0,2)^0 = 1 \times 0,2097152 \times 1 = 0,2097152 \]

Теперь, соберем все вероятности в ряд распределения \( X \):

\[ \begin{aligned} P(X = 0) & = 0,000128, \\ P(X = 1) & = 0,0003584, \\ P(X = 2) & = 0,004096, \\ P(X = 3) & = 0,0896, \\ P(X = 4) & = 0,114688, \\ P(X = 5) & = 0,278528, \\ P(X = 6) & = 0,3670016, \\ P(X = 7) & = 0,2097152. \\ \end{aligned} \]

Таким образом, ряд распределения случайной величины \( X \), представляющей количество попаданий стрелка в мишень, можно записать подробно следующим образом:

\[ \begin{array}{|c|c|} \hline k & P(X = k) \\ \hline 0 & 0,000128 \\ 1 & 0,0003584 \\ 2 & 0,004096 \\ 3 & 0,0896 \\ 4 & 0,114688 \\ 5 & 0,278528 \\ 6 & 0,3670016 \\ 7 & 0,2097152 \\ \hline \end{array} \]

Теперь у вас есть ряд распределения и вероятности для различных значений \( X \). Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно что-то пояснить более подробно, не стесняйтесь спрашивать!