Вычислите: \( \large sin(arcctg(-\frac{4}{3})) \)

Для вычисления значения \( \sin(\text{arcctg}(-\frac{4}{3})) \) следуем этим шагам:

1. Начнем с определения \( \theta = \text{arcctg}(-\frac{4}{3}) \). Значение \( \text{ctg}(\theta) = -\frac{4}{3} \). Это означает, что \( \theta \) находится в третьем или втором квадранте, потому что котангенс отрицателен во втором и третьем квадрантах.

2. Используя определение котангенса, мы знаем, что \( \text{ctg}(\theta) = \frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)} \). Таким образом, для нашего случая: \[ \frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)} = -\frac{4}{3}. \]

3. Из этого соотношения мы можем выразить \( \cos(\theta) \) и \( \sin(\theta) \). Пусть \( \sin(\theta) = 3k \) и \( \cos(\theta) = -4k \), где \( k \) — положительная константа. Тогда, используя теорему Пифагора: \[ \sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1, \] подставим значения: \[ (3k)^2 + (-4k)^2 = 1 \implies 9k^2 + 16k^2 = 1 \implies 25k^2 = 1 \implies k^2 = \frac{1}{25} \implies k = \frac{1}{5}. \]

4. Теперь подставим найденное значение \( k \) обратно: \[ \sin(\theta) = 3k = 3 \cdot \frac{1}{5} = \frac{3}{5}, \] \[ \cos(\theta) = -4k = -4 \cdot \frac{1}{5} = -\frac{4}{5}. \]

5. Таким образом, мы нашли \( \sin(\theta) \): \[ \sin(\text{arcctg}(-\frac{4}{3})) = \frac{3}{5}. \]

Итак, ответ: \[ \sin(\text{arcctg}(-\frac{4}{3})) = \frac{3}{5}. \]