Вычислите: \( \large sin(arcctg(-\frac{4}{3})) \)

Чтобы вычислить \( \sin(\text{arcctg}(-\frac{4}{3})) \), нужно сначала понять, что такое функция \( \text{arcctg} \).

Функция \( \text{arcctg}(x) \) даёт угол, чей котангенс равен \( x \). В данном случае, мы имеем:

\[ \text{arcctg}(-\frac{4}{3}) \]

Это означает, что мы ищем угол \( \theta \), который удовлетворяет уравнению:

\[ \text{ctg}(\theta) = -\frac{4}{3} \]

Так как котангенс отрицателен, угол \( \theta \) находится в третьей или четвёртой четверти. Для нахождения синуса, можно воспользоваться следующим соотношением:

\[ \text{ctg}(\theta) = \frac{1}{\tan(\theta)} \]

Поэтому:

\[ \tan(\theta) = -\frac{3}{4} \]

Теперь представим треугольник, где противолежащая сторона \( -3 \) (так как угол в четвёртой четверти) и прилежащая сторона \( 4 \). Тогда по теореме Пифагора находим гипотенузу \( r \):

\[ r = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]

Теперь мы можем найти синус:

\[ \sin(\theta) = \frac{\text{противолежащая сторона}}{\text{гипотенуза}} = \frac{-3}{5} \]

Таким образом, итоговый ответ:

\[ \sin(\text{arcctg}(-\frac{4}{3})) = -\frac{3}{5} \]