Докажите что при всех допустимых значениях t выражение (6(t+1.5)):(t³-27)+ (1):(3-t)+(t):(t²+3t+9)

Давайте разберем данное выражение и попробуем его упростить.

У нас есть следующее выражение:

\[ \frac{6(t+1.5)}{t^3-27} + \frac{1}{3-t} + \frac{t}{t^2+3t+9} \]

Сначала упростим каждую из частей.

1. Первая часть: \(\frac{6(t+1.5)}{t^3-27}\)

Здесь мы можем заметить, что \(t^3 - 27\) можно разложить на множители как \(t^3 - 3^3\), используя формулу разности кубов:

\[ t^3 - 27 = (t - 3)(t^2 + 3t + 9) \]

Следовательно, первую часть можно записать как:

\[ \frac{6(t + 1.5)}{(t - 3)(t^2 + 3t + 9)} \]

2. Вторая часть: \(\frac{1}{3-t}\)

Эту часть можно переписать как:

\[ \frac{1}{3 - t} = -\frac{1}{t - 3} \]

3. Третья часть: \(\frac{t}{t^2 + 3t + 9}\)

Эта часть уже записана в простом виде, и мы оставим её как есть.

Теперь мы можем переписать всё выражение в одном виде, чтобы легче было работать с ним:

\[ \frac{6(t + 1.5)}{(t - 3)(t^2 + 3t + 9)} - \frac{1}{t - 3} + \frac{t}{t^2 + 3t + 9} \]

Теперь найдем общий знаменатель для всех трёх дробей. Общий знаменатель будет:

\[ (t - 3)(t^2 + 3t + 9) \]

Переписываем каждую дробь так, чтобы использовать этот общий знаменатель:

\[ \frac{6(t + 1.5)}{(t - 3)(t^2 + 3t + 9)} - \frac{(t^2 + 3t + 9)}{(t - 3)(t^2 + 3t + 9)} + \frac{t(t - 3)}{(t - 3)(t^2 + 3t + 9)} \]

Теперь у нас получается:

\[ \frac{6(t + 1.5) - (t^2 + 3t + 9) + t(t - 3)}{(t - 3)(t^2 + 3t + 9)} \]

Упростим числитель:

• \(6(t + 1.5) = 6t + 9\)
• Равно \(t(t - 3) = t^2 - 3t\)

Теперь подставляем это в числитель:

\[ = 6t + 9 - (t^2 + 3t + 9) + (t^2 - 3t) \]

Соберем все подобные члены:

\[ = (6t - 3t - 3t) + (t^2 - t^2) + 9 - 9 = 0 \]

Таким образом, выражение превращается в:

\[ \frac{0}{(t - 3)(t^2 + 3t + 9)} = 0 \]

Следовательно, мы доказали, что при всех допустимых значениях \(t\) данное выражение равно нулю. Это значит, что исходное выражение всегда будет равно нулю, если \(t\) не равно 3 (заметим, что при \(t = 3\) знаменатель станет равным нулю, что не допускается).

Если у вас есть дополнительные вопросы по данной теме, не стесняйтесь спрашивать!