Вычислите значение производной функции при х=-2 у=(х-7)(-х^3+2х+5)

Чтобы найти значение производной функции \( y = (x - 7)(-x^3 + 2x + 5) \) при \( x = -2 \), нужно сначала найти производную этой функции. Мы используем правило произведения для дифференцирования:

\[ \frac{d}{dx}[u \cdot v] = u \cdot \frac{dv}{dx} + v \cdot \frac{du}{dx}, \]

где \( u = (x - 7) \) и \( v = (-x^3 + 2x + 5) \).

Сначала найдём производные \( u \) и \( v \):

• \( u = x - 7 \Rightarrow \frac{du}{dx} = 1 \)
• \( v = -x^3 + 2x + 5 \Rightarrow \frac{dv}{dx} = -3x^2 + 2 \)

Теперь применим правило произведения:

\[ \frac{dy}{dx} = u \cdot \frac{dv}{dx} + v \cdot \frac{du}{dx}. \]

Подставим наши значения:

\[ \frac{dy}{dx} = (x - 7)(-3x^2 + 2) + (-x^3 + 2x + 5)(1). \]

Теперь упростим этот выражение:

\[ \frac{dy}{dx} = (x - 7)(-3x^2 + 2) - x^3 + 2x + 5. \]

Следующий шаг — подставить \( x = -2 \).

Сначала вычислим следующие подвыражения:

1. \( u = -2 - 7 = -9 \)
2. \( v = -(-2)^3 + 2(-2) + 5 = -(-8) - 4 + 5 = 8 - 4 + 5 = 9 \)
3. \( \frac{dv}{dx} \) при \( x = -2 \):

\[ \frac{dv}{dx} = -3(-2)^2 + 2 = -3(4) + 2 = -12 + 2 = -10. \]

Теперь подставим эти значения в формулу для производной:

\[ \frac{dy}{dx} = (-9)(-10) + (9)(1). \]

Посчитаем:

\[ \frac{dy}{dx} = 90 + 9 = 99. \]

Таким образом, значение производной функции \( y \) при \( x = -2 \) равно \( 99 \).