Sin 2t = 0 ; t принадлежит [ - пи/2 ; 3пи/2]

Чтобы решить уравнение \( \sin 2t = 0 \) на интервале \( t \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right] \), давайте сначала вспомним, когда синус равен нулю.

Синус равен нулю, когда его аргумент является целым кратным \( \pi \): \[ 2t = n\pi, \] где \( n \) — целое число.

Теперь решим это уравнение относительно \( t \): \[ t = \frac{n\pi}{2}. \]

Теперь мы должны определить значения \( n \), чтобы \( t \) находился в указанном интервале \( \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right] \).

1. Для \( n = -1 \): \[ t = \frac{-1 \cdot \pi}{2} = -\frac{\pi}{2} \quad \text{(включено)} \]

2. Для \( n = 0 \): \[ t = \frac{0 \cdot \pi}{2} = 0 \quad \text{(включено)} \]

3. Для \( n = 1 \): \[ t = \frac{1 \cdot \pi}{2} = \frac{\pi}{2} \quad \text{(включено)} \]

4. Для \( n = 2 \): \[ t = \frac{2 \cdot \pi}{2} = \pi \quad \text{(включено)} \]

5. Для \( n = 3 \): \[ t = \frac{3 \cdot \pi}{2} = \frac{3\pi}{2} \quad \text{(включено)} \]

Теперь рассмотрим значения \( n = 4 \): \[ t = \frac{4 \cdot \pi}{2} = 2\pi \quad \text{(не включено, так как 2π > 3π/2)}. \]

Таким образом, все значения \( t \), которые удовлетворяют уравнению \( \sin 2t = 0 \) на заданном интервале, это: \[ t = -\frac{\pi}{2}, \quad t = 0, \quad t = \frac{\pi}{2}, \quad t = \pi, \quad t = \frac{3\pi}{2}. \]

Ответ: \( t = -\frac{\pi}{2}, \ 0, \ \frac{\pi}{2}, \ \pi, \ \frac{3\pi}{2} \).