Ранг матрицы 2 0 2 равен 1 1 4 3 0 1

Чтобы найти ранг матрицы, нужно определить максимальное количество линейно независимых строк (или столбцов). Рассмотрим данную матрицу:

\[ \begin{pmatrix} 2 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 4 \\ 3 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

Первый шаг — стремиться привести матрицу к ступенчатому виду. Начнем с приведения строк к более удобному виду.

1. В первую строку мы можем оставить без изменений: \[ R_1: (2, 0, 2) \]

2. Сделаем первую строку ведущей, попробуем сделать нулями элементы под первым элементом первой строки. Для этого от второй строки (умноженной на \( \frac{1}{2} \)) вычтем первую строку: \[ R_2 = R_2 - \frac{1}{2}R_1 = (1 - 1, 1 - 0, 4 - 1) \to (0, 1, 3) \]

3. Теперь сделаем то же самое с третьей строкой. Для этого от третьей строки вычтем \( \frac{3}{2} \) первой строки: \[ R_3 = R_3 - \frac{3}{2}R_1 = (3 - 3, 0 - 0, 1 - 3) \to (0, 0, -2) \]

Таким образом, матрица теперь выглядит следующим образом: \[ \begin{pmatrix} 2 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix} \]

Теперь, чтобы упростить последнюю строку, можно поделить её на \(-2\), но это не обязательно для определения ранга. В итоге, мы видим, что все три строки содержат ненулевые элементы и являются линейно независимыми.

Следовательно, ранг матрицы равен 3, поскольку мы имеем три линейно независимых строки.

Ответ: ранг матрицы равен 3.