Х в квадрате +4х+3>0

Чтобы решить неравенство \( x^2 + 4x + 3 > 0 \), сначала найдем корни соответствующего уравнения \( x^2 + 4x + 3 = 0 \).

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \):

\[ x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{2a} \]

В нашем случае \( a = 1 \), \( b = 4 \), \( c = 3 \).

Сначала найдем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4 \]

Так как дискриминант положителен, уравнение имеет два различных корня:

\[ x_1 = \frac{{-4 + \sqrt{4}}}{2 \cdot 1} = \frac{{-4 + 2}}{2} = \frac{{-2}}{2} = -1 \]

\[ x_2 = \frac{{-4 - \sqrt{4}}}{2 \cdot 1} = \frac{{-4 - 2}}{2} = \frac{{-6}}{2} = -3 \]

Таким образом, корни уравнения \( x^2 + 4x + 3 = 0 \) – это \( x_1 = -1 \) и \( x_2 = -3 \).

Теперь можем записать неравенство в виде:

\[ (x + 3)(x + 1) > 0 \]

Решим это неравенство. Рассмотрим интервалы, разделенные корнями:

1. \( (-\infty, -3) \)
2. \( (-3, -1) \)
3. \( (-1, +\infty) \)

Теперь проверим знаки произведения в каждом интервале:

1. Для интервала \( (-\infty, -3) \) (например, \( x = -4 \)): \[ (-4 + 3)(-4 + 1) = (-1)(-3) = 3 > 0 \]

2. Для интервала \( (-3, -1) \) (например, \( x = -2 \)): \[ (-2 + 3)(-2 + 1) = (1)(-1) = -1 < 0 \]

3. Для интервала \( (-1, +\infty) \) (например, \( x = 0 \)): \[ (0 + 3)(0 + 1) = (3)(1) = 3 > 0 \]

Теперь можем записать решение:

Неравенство \( x^2 + 4x + 3 > 0 \) выполняется для интервалов:

\[ (-\infty, -3) \cup (-1, +\infty) \]

Это и будет окончательным ответом.