Х в квадрате +4х+3>0

Чтобы решить неравенство \( x^2 + 4x + 3 > 0 \), сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения \( x^2 + 4x + 3 = 0 \).

Для этого можно воспользоваться формулой корней квадратного уравнения:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Где \( a = 1 \), \( b = 4 \), и \( c = 3 \).

Находим дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4 \]

Так как дискриминант положителен, уравнение имеет два различных корня:

\[ x_1 = \frac{-4 + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 2}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \]

\[ x_2 = \frac{-4 - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 2}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \]

Таким образом, корни уравнения \( x^2 + 4x + 3 = 0 \) — это \( x_1 = -1 \) и \( x_2 = -3 \).

Теперь мы можем исследовать знак выражения \( x^2 + 4x + 3 \) на интервалах, определяемых корнями:

1. Интервал \( (-\infty, -3) \)
2. Интервал \( (-3, -1) \)
3. Интервал \( (-1, +\infty) \)

Теперь надо выбрать тестовые значения из каждого интервала и подставить их в неравенство \( x^2 + 4x + 3 > 0 \):

• Возьмем \( x = -4 \) (интервал \( (-\infty, -3) \)): \[ (-4)^2 + 4(-4) + 3 = 16 - 16 + 3 = 3 > 0 \]

• Возьмем \( x = -2 \) (интервал \( (-3, -1) \)): \[ (-2)^2 + 4(-2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1 < 0 \]

• Возьмем \( x = 0 \) (интервал \( (-1, +\infty) \)): \[ 0^2 + 4(0) + 3 = 3 > 0 \]

Теперь можем записать решение неравенства:

\( x^2 + 4x + 3 > 0 \) на интервалах \( (-\infty, -3) \) и \( (-1, +\infty) \).

Таким образом, окончательное решение:

\[ (-\infty, -3) \cup (-1, +\infty) \]