.Найдите наименьшее натуральное число, у которого при делении на 3, на 5 или на 6 в остатке остается 2.

Чтобы найти наименьшее натуральное число, которое при делении на 3, на 5 или на 6 дает в остатке 2, давайте обозначим это число через \( x \).

Мы можем записать следующие условия:

1. \( x \mod 3 = 2 \)
2. \( x \mod 5 = 2 \)
3. \( x \mod 6 = 2 \)

Это означает, что \( x \) можно выразить в виде:

• \( x = 3k + 2 \) для некоторого целого \( k \) (при делении на 3)
• \( x = 5m + 2 \) для некоторого целого \( m \) (при делении на 5)
• \( x = 6n + 2 \) для некоторого целого \( n \) (при делении на 6)

Чтобы решить эту задачу, начнем с поиска числа \( x \), которое соответствует первому уравнению:

1. \( x = 3k + 2 \)
   • Возможные значения \( x \): 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, ...

Теперь проверим каждое из этих значений на соответствие двум другим условиям:

• Для \( x = 2 \):
  • \( 2 \mod 5 = 2 \) (выполняется)
  • \( 2 \mod 6 = 2 \) (выполняется)

Таким образом, число 2 удовлетворяет всем трём условиям. Но я заметил, что искали именно наименьшее натуральное число, поэтому продолжим.

• Для \( x = 5 \):

  • \( 5 \mod 5 = 0 \) (не выполняется)

• Для \( x = 8 \):

  • \( 8 \mod 5 = 3 \) (не выполняется)

• Для \( x = 11 \):

  • \( 11 \mod 5 = 1 \) (не выполняется)

• Для \( x = 14 \):

  • \( 14 \mod 5 = 4 \) (не выполняется)

• Для \( x = 17 \):

  • \( 17 \mod 5 = 2 \) (выполняется)
  • \( 17 \mod 6 = 5 \) (не выполняется)

• Для \( x = 20 \):

  • \( 20 \mod 5 = 0 \) (не выполняется)

• Для \( x = 23 \):

  • \( 23 \mod 5 = 3 \) (не выполняется)

• Для \( x = 26 \):

  • \( 26 \mod 5 = 1 \) (не выполняется)

• Для \( x = 29 \):

  • \( 29 \mod 5 = 4 \) (не выполняется)

• Для \( x = 32 \):

  • \( 32 \mod 5 = 2 \) (выполняется)
  • \( 32 \mod 6 = 2 \) (выполняется)

Наименьшее число, которое соответствует всем условиям, — это 32.