В прямоугольнике с вершинами  A ( − 4 ; − 4 ) A(−4;−4),  B ( − 4 ; 6 ) B(−4;6),  C ( 8 ; 6 ) C(8;6),  D ( 8 ; − 4 ) D(8;−4) выбрали случайную точку  X ( x ; y ) X(x;y). Найди вероятность того, что координаты этой точки принадлежат области, образованной неравенствами y≤x и y≥1.

Для решения этой задачи сначала определим область прямоугольника, заданного вершинами A (-4, -4), B (-4, 6), C (8, 6), D (8, -4).

1. Находим площадь прямоугольника:

   • Длина и ширина прямоугольника:
     • Длина: от -4 до 8 по оси x → 8 - (-4) = 12.
     • Высота: от -4 до 6 по оси y → 6 - (-4) = 10.
   • Площадь прямоугольника = Длина × Высота = 12 × 10 = 120 квадратных единиц.

2. Определим область, заданную неравенствами y ≤ x и y ≥ 1:

   • Неравенство y ≤ x задает прямую с углом в 45 градусов, проходящую через начало координат. Это означает, что все точки ниже этой прямой соответствуют этому неравенству.
   • Неравенство y ≥ 1 определяет горизонтальную линию, на уровне y = 1. Изначально, это значит, что нас интересует область выше этой прямой.

3. Определим область пересечения:

   • Для y ≥ 1, нам нужно понимать, какие значения x нам подойдут. Подставляя y = 1 в уравнение y = x, получаем x = 1. Таким образом, область пересечения обоих неравенств находится в квадранте, где x ≥ 1 и y ≥ 1.
   • Теперь найдем границы: эта область ограничена:
     • Вертикальной линией x = 1
     • Горизонтальной линией y = 1
     • Линией y = x (начиная от точки (1, 1))

4. Находим площадь области пересечения:

   • Эта область представляет собой треугольник, у которого вершины находятся в точках (1, 1), (8, 1) и (8, 8).
   • Площадь треугольника можно рассчитать как:
     • Основание: расстояние от (1, 1) до (8, 1) = 8 - 1 = 7
     • Высота: расстояние от (1, 1) до (1, 8) = 8 - 1 = 7
   • Площадь треугольника = 1/2 × основание × высота = 1/2 × 7 × 7 = 24.5 квадратных единиц.

5. Находим вероятность:

   • Вероятность того, что случайно выбранная точка X (x; y) из прямоугольника будет находиться в области, заданной неравенствами, равна отношению площади области пересечения к площади прямоугольника: \[ P = \frac{\text{площадь треугольника}}{\text{площадь прямоугольника}} = \frac{24.5}{120} = \frac{49}{240} \approx 0.2042. \]

Таким образом, вероятность того, что координаты точки X будут принадлежать области, образованной неравенствами y ≤ x и y ≥ 1, составляет приблизительно 0.2042 или 20.42%.