3. Постройте график функции у = - 2x2 - 8х - 5. Укажите значения х, при которых: a) функция убывает; б) возрастает; в) принимает наибольшее значение; Постройте графики функций у = х - 4 и у = х + 3 в одной системе координат, и сделайте вывод об их взаимном расположении

Давайте подробнее рассмотрим вашу задачу, связанную с построением графика функции \( y = -2x^2 - 8x - 5 \).

1. Анализ функции \( y = -2x^2 - 8x - 5 \)

Эта функция является квадратичной и имеет вид общего уравнения \( y = ax^2 + bx + c \), где \( a = -2 \), \( b = -8 \), \( c = -5 \).

a) Определим, при каких значениях \( x \) функция убывает.

Функция убывает на интервале, где её производная отрицательна. Найдем производную:

\[ y' = \frac{dy}{dx} = -4x - 8 \]

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

\[ -4x - 8 = 0 \\ -4x = 8 \\ x = -2 \]

Теперь у нас есть одна критическая точка \( x = -2 \). Для определения того, когда функция убывает, можно проверить знаки производной в интервалах по обе стороны от этой точки:

• Для \( x < -2 \) (например, \( x = -3 \)): \[ y'(-3) = -4(-3) - 8 = 12 - 8 = 4 \quad (\text{возрастает}) \]

• Для \( x > -2 \) (например, \( x = -1 \)): \[ y'(-1) = -4(-1) - 8 = 4 - 8 = -4 \quad (\text{убывает}) \]

Таким образом, функция убывает на интервале \( (-2; +\infty) \).

б) Где функция возрастает?

Функция возрастает на интервале, где её производная положительна, что мы уже определили:

• Функция возрастает на интервале \( (-\infty; -2) \).

в) Наибольшее значение функции

Наибольшее значение функции достигается в критической точке \( x = -2 \). Подставим это значение в функцию:

\[ y(-2) = -2(-2)^2 - 8(-2) - 5 \\ = -2(4) + 16 - 5 \\ = -8 + 16 - 5 \\ = 3 \]

Таким образом, функция принимает наибольшее значение \( 3 \), когда \( x = -2 \).

2. Построение графиков функций \( y = x - 4 \) и \( y = x + 3 \)

Теперь рассмотрим линии \( y = x - 4 \) и \( y = x + 3 \).

• Функция \( y = x - 4 \) имеет y-перехват \( -4 \) и наклон \( 1 \).
• Функция \( y = x + 3 \) имеет y-перехват \( 3 \) и такой же наклон \( 1 \).

Так как обе функции имеют одинаковый наклон (параллельные прямые), они никогда не пересекаются. Таким образом, их взаимное расположение: параллельные прямые.

Вывод

Мы проанализировали функции и определили, что:

1. Функция \( y = -2x^2 - 8x - 5 \) убывает на интервале \( (-2; +\infty) \), возрастает на интервале \( (-\infty; -2) \) и достигает наибольшего значения \( 3 \) при \( x = -2 \).
2. Линии \( y = x - 4 \) и \( y = x + 3 \) являются параллельными и не пересекаются.

Если у вас возникнут дополнительные вопросы или нужно больше пояснений, не стесняйтесь спрашивать!