В треугольнике ABC угол А равен 60°, угол В равен 45°, ВС = 8√2. Найдите АС.

В треугольнике ABC мы имеем следующие данные: угол A равен 60°, угол B равен 45°, и сторона BC равна 8√2. Чтобы найти сторону AC, можно использовать закон синусов.

Сначала найдем угол C. Сумма углов в треугольнике всегда равна 180°, поэтому:

\[ C = 180° - A - B = 180° - 60° - 45° = 75° \]

Теперь, по закону синусов:

\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \]

где:

• a = BC
• b = AC
• c = AB.

Подставим известные значения в закон синусов:

\[ \frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B} \]

Мы знаем, что BC = 8√2 и \(\sin A = \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}\), а \(\sin B = \sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}\). Подставим данные в уравнение:

\[ \frac{8\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{AC}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \]

Упрощая первую часть:

\[ 8\sqrt{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{AC \cdot 2}{\sqrt{2}} \]

Теперь выразим AC:

\[ \frac{16\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{AC \cdot 2}{\sqrt{2}} \]

Умножим обе стороны уравнения на \(\sqrt{2}\):

\[ \frac{16 \cdot 2}{\sqrt{3}} = 2AC \]

Объединим и сократим:

\[ \frac{32}{\sqrt{3}} = 2AC \implies AC = \frac{16}{\sqrt{3}} = \frac{16\sqrt{3}}{3} \]

Таким образом, длина стороны AC равна \(\frac{16\sqrt{3}}{3}\).