Постройте график функции и найдите наибольшее значение этой функции у=-1/3 х²+2х
Для построения графика функции \( y = -\frac{1}{3}x^2 + 2x \) и нахождения наибольшего значения этой функции, начнем с анализа её формы и параметров.
Определим вид функции: Данная функция является параболой, открытой вниз (так как коэффициент при \( x^2 \) отрицательный).
Нахождение вершины параболы: Вершина параболы, заданной уравнением вида \( y = ax^2 + bx + c \), находится по формуле: \[ x_{вершина} = -\frac{b}{2a} \] В данном случае \( a = -\frac{1}{3} \) и \( b = 2 \). Подставляем значения: \[ x_{вершина} = -\frac{2}{2 \cdot -\frac{1}{3}} = -\frac{2}{-\frac{2}{3}} = 3 \]
Нахождение максимального значения: Теперь, подставим \( x_{вершина} \) обратно в уравнение функции для нахождения соответствующего значения \( y \): \[ y_{макс} = -\frac{1}{3}(3^2) + 2(3) = -\frac{1}{3} \cdot 9 + 6 = -3 + 6 = 3 \]
Итак, наибольшее значение функции равно 3 и достигается при \( x = 3 \).
Построение графика: Для построения графика вы можете использовать графические программы или калькуляторы. Вам следует построить координатную систему и отложить точки, соответствующие значению функции для нескольких значений \( x \):
- Если \( x = 0 \): \( y = 0 \)
- Если \( x = 1 \): \( y = -\frac{1}{3}(1^2) + 2(1) = 1.67 \)
- Если \( x = 2 \): \( y = -\frac{1}{3}(2^2) + 2(2) = 2.67 \)
- Если \( x = 3 \): \( y = 3 \) (максимум)
- Если \( x = 4 \): \( y = -\frac{1}{3}(4^2) + 2(4) = 2.67 \)
- Если \( x = 5 \): \( y = -\frac{1}{3}(5^2) + 2(5) = 1.67 \)
- Если \( x = 6 \): \( y = 0 \)
Соединив точки, вы получите параболу, которая достигнет своего максимума в точке \( (3, 3) \).
Таким образом, максимальное значение функции \( y = -\frac{1}{3}x^2 + 2x \) равно 3 и достигается при \( x = 3 \).
