9 Решите уравнениех" 4x" - 16х - 61 - 0. Если корней будет больше, чем один, то в ответ запишите их произведение.
Конечно! Давайте решим уравнение \( 4x^2 - 16x - 61 = 0 \).
Это квадратное уравнение вида \( ax^2 + bx + c = 0 \), где:
- \( a = 4 \)
- \( b = -16 \)
- \( c = -61 \)
Для нахождения корней уравнения мы можем использовать формулу корней квадратного уравнения:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
Сначала вычислим дискриминант (\( D \)):
\[ D = b^2 - 4ac = (-16)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-61) \] \[ D = 256 + 976 = 1232 \]
Так как дискриминант положительный (\( D > 0 \)), у уравнения будет два различных корня.
Теперь подставим значения в формулу:
\[ x = \frac{16 \pm \sqrt{1232}}{2 \cdot 4} = \frac{16 \pm \sqrt{1232}}{8} \]
Вычислим корень из 1232. Можно упростить его:
\[ 1232 = 16 \cdot 77 \quad \text{(поскольку \( 16 = 4^2 \) и 77 простое число)} \] \[ \sqrt{1232} = \sqrt{16 \cdot 77} = 4\sqrt{77} \]
Теперь подставим это значение обратно в формулу:
\[ x = \frac{16 \pm 4\sqrt{77}}{8} \] \[ x = \frac{16}{8} \pm \frac{4\sqrt{77}}{8} = 2 \pm \frac{\sqrt{77}}{2} \]
Таким образом, корни уравнения:
- \( x_1 = 2 + \frac{\sqrt{77}}{2} \)
- \( x_2 = 2 - \frac{\sqrt{77}}{2} \)
Теперь найдем произведение корней. Для квадратного уравнения оно вычисляется по формуле \( \frac{c}{a} \).
В нашем случае:
\[ \text{Произведение корней} = \frac{-61}{4} \]
Итак, ответ: произведение корней уравнения равно \( -\frac{61}{4} \).
