Log2(x-5) + log2(x+2) =3

Чтобы решить уравнение \( \log_2(x - 5) + \log_2(x + 2) = 3 \), используем свойства логарифмов.

1. Сначала объединим логарифмы. Согласно свойству логарифмов, \( \log_a(m) + \log_a(n) = \log_a(m \cdot n) \): \[ \log_2((x - 5)(x + 2)) = 3 \]

2. Теперь, чтобы избавиться от логарифма, возведем обе стороны уравнения в степень 2: \[ (x - 5)(x + 2) = 2^3 \] \[ (x - 5)(x + 2) = 8 \]

3. Раскроем скобки: \[ x^2 + 2x - 5x - 10 = 8 \] \[ x^2 - 3x - 10 = 8 \]

4. Переносим 8 на левую сторону: \[ x^2 - 3x - 18 = 0 \]

5. Теперь решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Сначала найдем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 9 + 72 = 81 \]

6. Находим корни уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm 9}{2} \] Это дает два значения: \[ x_1 = \frac{12}{2} = 6 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-6}{2} = -3 \]

7. Теперь нужно проверить, подходят ли найденные решения в исходное уравнение. Помним, что логарифм определён только для положительных значений. Проверим:

   • Для \( x = 6 \): \[ \log_2(6 - 5) + \log_2(6 + 2) = \log_2(1) + \log_2(8) = 0 + 3 = 3 \] Это решение допустимо.

   • Для \( x = -3 \): \[ \log_2(-3 - 5) + \log_2(-3 + 2) \] Здесь логарифмы не определены, так как они будут взяты от отрицательных чисел.

Таким образом, единственное допустимое решение уравнения: \[ \boxed{6} \]