Найдите все правильные дроби, знаменатель которых равен 24, а числитель и знаменатель-взаимно простые числа

Question 1

Задача Задача №2014736

А

Аноним

25 октября 2024 19:10 · публичный вопрос

А

Аноним 25 октября 2024 19:10

Найдите все правильные дроби, знаменатель которых равен 24, а числитель и знаменатель-взаимно простые числа

Answer

Правильные дроби с знаменателем 24 имеют вид \( \frac{a}{24} \), где \( a < 24 \) и \( a \) — натуральное число. Чтобы найти такие дроби, нужно, чтобы \( a \) и 24 были взаимно простыми числами, то есть их наибольший общий делитель (НОД) должен равняться 1.

Знаменатель 24 имеет следующие делители: \[ 24 = 2^3 \cdot 3^1. \]

Значит, чтобы \( \text{НОД}(a, 24) = 1 \), \( a \) не должно быть кратным 2 и 3.

Теперь найдем все натуральные числа \( a \) от 1 до 23, которые не делятся на 2 и 3:

Числа от 1 до 23: \( 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23 \)
Убираем кратные 2: \( 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22 \)
Убираем кратные 3: \( 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21 \)

Итак, остаются числа:

\( 1 \)
\( 5 \)
\( 7 \)
\( 11 \)
\( 13 \)
\( 17 \)
\( 19 \)
\( 23 \)

Теперь проверим, что все эти числа действительно взаимно простые с 24:

\( \text{НОД}(1, 24) = 1 \)
\( \text{НОД}(5, 24) = 1 \)
\( \text{НОД}(7, 24) = 1 \)
\( \text{НОД}(11, 24) = 1 \)
\( \text{НОД}(13, 24) = 1 \)
\( \text{НОД}(17, 24) = 1 \)
\( \text{НОД}(19, 24) = 1 \)
\( \text{НОД}(23, 24) = 1 \)

Таким образом, все эти числа взаимно простые с 24.

Следовательно, все правильные дроби, знаменатель которых равен 24 и числитель и знаменатель-взаимно простые числа, это: \[ \frac{1}{24}, \frac{5}{24}, \frac{7}{24}, \frac{11}{24}, \frac{13}{24}, \frac{17}{24}, \frac{19}{24}, \frac{23}{24}. \]

Question 2

Найдите все правильные дроби, знаменатель которых равен 24, а числитель и знаменатель-взаимно простые числа

Answer

Правильные дроби с знаменателем 24 имеют вид \( \frac{a}{24} \), где \( a < 24 \) и \( a \) — натуральное число. Чтобы найти такие дроби, нужно, чтобы \( a \) и 24 были взаимно простыми числами, то есть их наибольший общий делитель (НОД) должен равняться 1. Знаменатель 24 имеет следующие делители: \[ 24 = 2^3 \cdot 3^1. \] Значит, чтобы \( \text{НОД}(a, 24) = 1 \), \( a \) не должно быть кратным 2 и 3. Теперь найдем все натуральные числа \( a \) от 1 до 23, которые не делятся на 2 и 3: - Числа от 1 до 23: \( 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23 \) - Убираем кратные 2: \( 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22 \) - Убираем кратные 3: \( 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21 \) Итак, остаются числа: - \( 1 \) - \( 5 \) - \( 7 \) - \( 11 \) - \( 13 \) - \( 17 \) - \( 19 \) - \( 23 \) Теперь проверим, что все эти числа действительно взаимно простые с 24: - \( \text{НОД}(1, 24) = 1 \) - \( \text{НОД}(5, 24) = 1 \) - \( \text{НОД}(7, 24) = 1 \) - \( \text{НОД}(11, 24) = 1 \) - \( \text{НОД}(13, 24) = 1 \) - \( \text{НОД}(17, 24) = 1 \) - \( \text{НОД}(19, 24) = 1 \) - \( \text{НОД}(23, 24) = 1 \) Таким образом, все эти числа взаимно простые с 24. Следовательно, все правильные дроби, знаменатель которых равен 24 и числитель и знаменатель-взаимно простые числа, это: \[ \frac{1}{24}, \frac{5}{24}, \frac{7}{24}, \frac{11}{24}, \frac{13}{24}, \frac{17}{24}, \frac{19}{24}, \frac{23}{24}. \]