2+5/(x+1)(x+3)>=1/(x+1)-10/(x+3)
Чтобы решить неравенство \( 2 + \frac{5}{(x + 1)(x + 3)} \geq \frac{1}{(x + 1)} - \frac{10}{(x + 3)} \), давайте сначала упростим его шаг за шагом.
Приведем все члены неравенства к общему знаменателю. Общий знаменатель будет \((x + 1)(x + 3)\).
Переписываем неравенство:
\[ 2 + \frac{5}{(x + 1)(x + 3)} \geq \frac{(x + 3)}{(x + 1)(x + 3)} - \frac{10(x + 1)}{(x + 1)(x + 3)} \]
- Теперь упростим правую часть:
\[ 2 + \frac{5}{(x + 1)(x + 3)} \geq \frac{x + 3 - 10(x + 1)}{(x + 1)(x + 3)} \]
- Проводим упрощение в числителе:
\[ x + 3 - 10x - 10 = -9x - 7 \]
Итак, неравенство принимает вид:
\[ 2 + \frac{5}{(x + 1)(x + 3)} \geq \frac{-9x - 7}{(x + 1)(x + 3)} \]
- Теперь умножим обе стороны на \((x + 1)(x + 3)\), но необходимо помнить о знаках:
\[ 2(x + 1)(x + 3) + 5 \geq -9x - 7 \]
- Раскроем скобки:
\[ 2(x^2 + 4x + 3) + 5 \geq -9x - 7 \]
Получаем:
\[ 2x^2 + 8x + 6 + 5 \geq -9x - 7 \]
- Приведем все члены к одной стороне:
\[ 2x^2 + 8x + 11 + 9x + 7 \geq 0 \]
Собираем подобные:
\[ 2x^2 + 17x + 18 \geq 0 \]
- Теперь необходимо решить квадратное неравенство \( 2x^2 + 17x + 18 \geq 0 \). Сначала найдем корни:
Используем дискриминант \(D = b^2 - 4ac\):
\[ D = 17^2 - 4 \cdot 2 \cdot 18 = 289 - 144 = 145 \]
Корни находятся по формуле \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\):
\[ x_1 = \frac{-17 - \sqrt{145}}{4}, \quad x_2 = \frac{-17 + \sqrt{145}}{4} \]
- Теперь нам нужно определить знаки квадратного три члена \(2x^2 + 17x + 18\) на интервалах, заданных корнями. Поскольку ведущий коэффициент положителен (2), эта парабола будет открыта вверх. Это значит, что неравенство выполнено вне интервала между корнями:
\[ x \leq x_1 \quad \text{или} \quad x \geq x_2 \]
Итак, окончательный ответ — необходимо указать конкретные значения для корней, и затем обозначить интервалы, где неравенство выполняется.
Если нужно дополнительное объяснение по этим шагам или другой аспект, пожалуйста, дайте знать!
