(3x-2/x-3) + (x+2/x+3) =0

Чтобы решить уравнение

\[ \frac{3x-2}{x-3} + \frac{x+2}{x+3} = 0, \]

мы начнем с приведения его к общему знаменателю. Общий знаменатель для дробей \((x-3)\) и \((x+3)\) — это \((x-3)(x+3)\).

Теперь перепишем каждую дробь с общим знаменателем:

\[ \frac{(3x-2)(x+3)}{(x-3)(x+3)} + \frac{(x+2)(x-3)}{(x-3)(x+3)} = 0. \]

Объединим дроби:

\[ \frac{(3x-2)(x+3) + (x+2)(x-3)}{(x-3)(x+3)} = 0. \]

Поскольку дробь равна нулю, это возможно только тогда, когда числитель равен нулю. Следовательно, нам необходимо решить уравнение:

\[ (3x-2)(x+3) + (x+2)(x-3) = 0. \]

Теперь раскроем скобки:

1. Первое произведение: \( (3x-2)(x+3) = 3x^2 + 9x - 2x - 6 = 3x^2 + 7x - 6. \)

2. Второе произведение: \( (x+2)(x-3) = x^2 - 3x + 2x - 6 = x^2 - x - 6. \)

Теперь сложим обе части:

\[ 3x^2 + 7x - 6 + x^2 - x - 6 = 0. \]

Соберем подобные члены:

\[ 4x^2 + 6x - 12 = 0. \]

Теперь упростим уравнение, поделив все коэффициенты на 2:

\[ 2x^2 + 3x - 6 = 0. \]

Теперь мы можем использовать формулу квадратного уравнения \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\). Здесь \(a = 2\), \(b = 3\), и \(c = -6\).

Вычислим дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 9 + 48 = 57. \]

Так как дискриминант положительный, у уравнения есть два разных решения. Теперь найдем корни:

\[ x = \frac{-3 \pm \sqrt{57}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 \pm \sqrt{57}}{4}. \]

Таким образом, у уравнения есть два решения:

\[ x_1 = \frac{-3 + \sqrt{57}}{4}, \quad x_2 = \frac{-3 - \sqrt{57}}{4}. \]

Это все шаги к решению данного уравнения. Если у вас есть дополнительные вопросы или что-то непонятно, не стесняйтесь спрашивать!