Приближающееся день рождение или приближающееся день рождение

Правильный вариант — "приближающееся день рождения". Здесь используется слово "день" в единственном числе, и сочетание "день рождения" в этом контексте описывает одно событие, которое приближается. Если у вас есть еще вопросы по грамматике или другим учебным темам, с удовольствием помогу!