Найти область значения

Привет! Тебе нужно найти область значений функции. Поехали разбираться с этим примером.

Функция у тебя такая: \[ y = \frac{2x - 2}{x^2 - 2x + 2} \]

1. Область значений: Для начала нужно определить, при каких значениях \( x \) функция определена. Здесь знаменатель \( x^2 - 2x + 2 \) не может быть равен нулю. Решая квадратное уравнение \( x^2 - 2x + 2 = 0 \), мы видим, что дискриминант меньше нуля, значит, уравнение не имеет действительных корней. Таким образом, функция определена для всех \( x \).

2. Исследуем функцию: Поскольку функция определена для всех \( x \), область значений будет зависться от поведения числителя и знаменателя. Поскольку знаменатель всегда положителен (нет действительных корней), изучим поведение числителя.

3. Пределы при \( x \to \pm\infty \):

   • При \( x \to \infty \), функция приближается к нулю, так как числитель и знаменатель примерно \( 2x \) и \( x^2 \).
   • Аналогично, при \( x \to -\infty \), функция тоже стремится к нулю.

4. Поиск критических точек и экстремумов: Найди производную функции и найди её нули, чтобы определить, как ведет себя функция в критических точках.

Таким образом, мы можем сказать, что функция всюду стремится к нулю, но сама \( y \) может принимать значения в интервале от минус до плюс бесконечности из-за того, что функция всегда определённая и меняет знак в зависимости от \( x \).

Область значений функции: \( (-\infty, \infty) \).

Если тебе нужно больше деталей по промежуточным расчетам или ещё пояснения, дай знать!