(2+3i)^4
Конечно! Давайте решим выражение \((2 + 3i)^4\).
Для начала, мы можем использовать формулу бинома Ньютона, которая утверждает:
\[ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} C(n, k) a^{n-k} b^k \]
где \(C(n, k)\) — биномиальный коэффициент.
В нашем случае \(a = 2\), \(b = 3i\) и \(n = 4\). Теперь мы можем выразить \((2 + 3i)^4\):
\[ (2 + 3i)^4 = \sum_{k=0}^{4} C(4, k) \cdot 2^{4-k} \cdot (3i)^k \]
Теперь будем вычислять каждый член суммы:
- \(k = 0\):
\[ C(4, 0) \cdot 2^4 \cdot (3i)^0 = 1 \cdot 16 \cdot 1 = 16 \]
- \(k = 1\):
\[ C(4, 1) \cdot 2^3 \cdot (3i)^1 = 4 \cdot 8 \cdot 3i = 96i \]
- \(k = 2\):
\[ C(4, 2) \cdot 2^2 \cdot (3i)^2 = 6 \cdot 4 \cdot 9(-1) = -216 \]
- \(k = 3\):
\[ C(4, 3) \cdot 2^1 \cdot (3i)^3 = 4 \cdot 2 \cdot 27(-i) = -216i \]
- \(k = 4\):
\[ C(4, 4) \cdot 2^0 \cdot (3i)^4 = 1 \cdot 1 \cdot 81 = 81 \]
Теперь сложим все полученные результаты:
\[ 16 + 96i - 216 - 216i + 81 \]
Теперь обобщим действительные и мнимые части:
Действительная часть: \(16 - 216 + 81 = -119\)
Мнимая часть: \(96i - 216i = -120i\)
Таким образом, окончательный ответ будет:
\[ (2 + 3i)^4 = -119 - 120i \]
Если у вас есть дополнительные вопросы по этой теме, не стесняйтесь спрашивать!
