Владимир Курокоров познал настолько много, что этот мир ему стал абсолютно понятен. Удовольствие он получает только от двух вещей – от жареной картошечки (далее товар X ) и от говядины (далее товар Y ). При этом он не может есть одно из этих блюд без второго. Функция полезности Владимира имеет вид U=X⋅Y , Х и Y выражаются в единицах, U в ютилях. Владимир зарабатывает немного, всего лишь 300 рублей, и все деньги до последнего рубля он готов тратить лишь на эти два товара. Деньги, которые у него могут остаться после покупок жареной картошечки и говядины, никакой дополнительной полезности не несут, поэтому Владимир решил тратить весь свой бюджет. Жареную картошечку Владимир покупает всегда в ларьке у дома по 20 рублей за порцию, а говядину он покупает в соседнем ларьке у дома по 30 рублей за порцию. Какое численное значение полезности может получить Владимир, если его цель – максимизации полезности? На сколько процентов вырастет полезность Владимира, если цена на говядину упадёт в 1,5 раза?

Question 1

Задача Задача №2018273

А

Аноним

26 октября 2024 12:30 · публичный вопрос

А

Аноним 26 октября 2024 12:30

Владимир Курокоров познал настолько много, что этот мир ему стал абсолютно понятен. Удовольствие он получает только от двух вещей – от жареной картошечки (далее товар X ) и от говядины (далее товар Y ). При этом он не может есть одно из этих блюд без второго. Функция полезности Владимира имеет вид U=X⋅Y , Х и Y выражаются в единицах, U в ютилях. Владимир зарабатывает немного, всего лишь 300 рублей, и все деньги до последнего рубля он готов тратить лишь на эти два товара. Деньги, которые у него могут остаться после покупок жареной картошечки и говядины, никакой дополнительной полезности не несут, поэтому Владимир решил тратить весь свой бюджет. Жареную картошечку Владимир покупает всегда в ларьке у дома по 20 рублей за порцию, а говядину он покупает в соседнем ларьке у дома по 30 рублей за порцию. Какое численное значение полезности может получить Владимир, если его цель – максимизации полезности? На сколько процентов вырастет полезность Владимира, если цена на говядину упадёт в 1,5 раза?

Answer

Для решения данной задачи мы можем использовать информацию о функции полезности и бюджетных ограничениях Владимира.

Функция полезности задана как \( U = X \cdot Y \), где \( X \) – количество порций жареной картошки, а \( Y \) – количество порций говядины.

Шаг 1: Установим бюджетные ограничения

Владимир имеет 300 рублей.

Стоимость порции жареной картошки (X) составляет 20 рублей, а стоимость порции говядины (Y) – 30 рублей. Таким образом, бюджетное ограничение можно записать следующим образом: \[ 20X + 30Y = 300 \]

Шаг 2: Упростим уравнение

Разделим все коэффициенты на 10: \[ 2X + 3Y = 30 \]

Шаг 3: Найдем точки касания

Чтобы максимизировать полезность \( U = X \cdot Y \) при данном бюджетном ограничении, можно использовать метод Лагранжа или просто выразить одну переменную через другую из уравнения бюджета.

Решим уравнение для \( Y \): \[ 3Y = 30 - 2X \implies Y = 10 - \frac{2}{3}X \]

Теперь подставим это выражение в функцию полезности: \[ U = X \cdot (10 - \frac{2}{3}X) = 10X - \frac{2}{3}X^2 \]

Шаг 4: Найдем максимальное значение полезности

Для нахождения максимума функции, найдем производную \( U' \) и приравняем ее к нулю: \[ U' = 10 - \frac{4}{3}X \]

Приравняем к нулю: \[ 10 - \frac{4}{3}X = 0 \implies \frac{4}{3}X = 10 \implies X = \frac{10 \cdot 3}{4} = 7.5 \]

Так как \( X \) должно быть целым, пробуем \( X = 7 \) и \( X = 8 \).

Для \( X = 7 \):

\[ Y = 10 - \frac{2}{3} \cdot 7 = 10 - \frac{14}{3} = \frac{30 - 14}{3} = \frac{16}{3} \approx 5.33 \]

Эта комбинация не подходит, так как \( Y \) не целое.

Для \( X = 6 \):

\[ Y = 10 - \frac{2}{3} \cdot 6 = 10 - 4 = 6 \] Общая стоимость: \( 20 \cdot 6 + 30 \cdot 6 = 120 + 180 = 300 \) (все деньги потрачены). Полезность: \[ U = 6 \cdot 6 = 36 \]

Проверим \( X = 8 \):

\[ Y = 10 - \frac{2}{3} \cdot 8 = 10 - \frac{16}{3} = \frac{30 - 16}{3} = \frac{14}{3} \approx 4.67 \] Эта комбинация также не подходит, так как \( Y \) не целое.

Таким образом, максимальная целевая полезность для Владимира равна 36.

Шаг 5: Как изменится полезность при снижении цены на говядину

Если цена на говядину снижается в 1.5 раза, она становится 20 рублей: Теперь уравнение бюджета будет: \[ 20X + 20Y = 300 \implies X + Y = 15 \] Теперь выразим \( Y \): \[ Y = 15 - X \] Подставим в функцию полезности: \[ U = X \cdot (15 - X) = 15X - X^2 \] Найдём максимум: \[ U' = 15 - 2X \quad (приравниваем к 0) \] \[ 15 - 2X = 0 \implies X = 7.5 \] Пробуем целые значения — \( X = 7 \) и \( X = 8 \).

Для \( X = 7 \): \[ Y = 15 - 7 = 8 \quad U = 7 \cdot 8 = 56 \]

Для \( X = 8 \): \[ Y = 15 - 8 = 7 \quad U = 8 \cdot 7 = 56 \] Оба случая дают полезность 56.

Вычислим прирост полезности:

Начальная полезность: 36 Новая полезность: 56 Прирост: \( 56 - 36 = 20 \)

Процентное увеличение: \[ \frac{20}{36} \times 100\% \approx 55.56\% \]

Таким образом, полезность Владимира увеличится приблизительно на 55.56%.

Question 2

Владимир Курокоров познал настолько много, что этот мир ему стал абсолютно понятен. Удовольствие он получает только от двух вещей – от жареной картошечки (далее товар X ) и от говядины (далее товар Y ). При этом он не может есть одно из этих блюд без второго. Функция полезности Владимира имеет вид U=X⋅Y , Х и Y выражаются в единицах, U в ютилях. Владимир зарабатывает немного, всего лишь 300 рублей, и все деньги до последнего рубля он готов тратить лишь на эти два товара. Деньги, которые у него могут остаться после покупок жареной картошечки и говядины, никакой дополнительной полезности не несут, поэтому Владимир решил тратить весь свой бюджет. Жареную картошечку Владимир покупает всегда в ларьке у дома по 20 рублей за порцию, а говядину он покупает в соседнем ларьке у дома по 30 рублей за порцию. Какое численное значение полезности может получить Владимир, если его цель – максимизации полезности? На сколько процентов вырастет полезность Владимира, если цена на говядину упадёт в 1,5 раза?

Answer

Для решения данной задачи мы можем использовать информацию о функции полезности и бюджетных ограничениях Владимира. Функция полезности задана как \( U = X \cdot Y \), где \( X \) – количество порций жареной картошки, а \( Y \) – количество порций говядины. ### Шаг 1: Установим бюджетные ограничения Владимир имеет 300 рублей. Стоимость порции жареной картошки (X) составляет 20 рублей, а стоимость порции говядины (Y) – 30 рублей. Таким образом, бюджетное ограничение можно записать следующим образом: \[ 20X + 30Y = 300 \] ### Шаг 2: Упростим уравнение Разделим все коэффициенты на 10: \[ 2X + 3Y = 30 \] ### Шаг 3: Найдем точки касания Чтобы максимизировать полезность \( U = X \cdot Y \) при данном бюджетном ограничении, можно использовать метод Лагранжа или просто выразить одну переменную через другую из уравнения бюджета. Решим уравнение для \( Y \): \[ 3Y = 30 - 2X \implies Y = 10 - \frac{2}{3}X \] Теперь подставим это выражение в функцию полезности: \[ U = X \cdot (10 - \frac{2}{3}X) = 10X - \frac{2}{3}X^2 \] ### Шаг 4: Найдем максимальное значение полезности Для нахождения максимума функции, найдем производную \( U' \) и приравняем ее к нулю: \[ U' = 10 - \frac{4}{3}X \] Приравняем к нулю: \[ 10 - \frac{4}{3}X = 0 \implies \frac{4}{3}X = 10 \implies X = \frac{10 \cdot 3}{4} = 7.5 \] Так как \( X \) должно быть целым, пробуем \( X = 7 \) и \( X = 8 \). ### Для \( X = 7 \): \[ Y = 10 - \frac{2}{3} \cdot 7 = 10 - \frac{14}{3} = \frac{30 - 14}{3} = \frac{16}{3} \approx 5.33 \] Эта комбинация не подходит, так как \( Y \) не целое. ### Для \( X = 6 \): \[ Y = 10 - \frac{2}{3} \cdot 6 = 10 - 4 = 6 \] Общая стоимость: \( 20 \cdot 6 + 30 \cdot 6 = 120 + 180 = 300 \) (все деньги потрачены). Полезность: \[ U = 6 \cdot 6 = 36 \] ### Проверим \( X = 8 \): \[ Y = 10 - \frac{2}{3} \cdot 8 = 10 - \frac{16}{3} = \frac{30 - 16}{3} = \frac{14}{3} \approx 4.67 \] Эта комбинация также не подходит, так как \( Y \) не целое. Таким образом, максимальная целевая полезность для Владимира равна 36. ### Шаг 5: Как изменится полезность при снижении цены на говядину Если цена на говядину снижается в 1.5 раза, она становится 20 рублей: Теперь уравнение бюджета будет: \[ 20X + 20Y = 300 \implies X + Y = 15 \] Теперь выразим \( Y \): \[ Y = 15 - X \] Подставим в функцию полезности: \[ U = X \cdot (15 - X) = 15X - X^2 \] Найдём максимум: \[ U' = 15 - 2X \quad (приравниваем к 0) \] \[ 15 - 2X = 0 \implies X = 7.5 \] Пробуем целые значения — \( X = 7 \) и \( X = 8 \). Для \( X = 7 \): \[ Y = 15 - 7 = 8 \quad U = 7 \cdot 8 = 56 \] Для \( X = 8 \): \[ Y = 15 - 8 = 7 \quad U = 8 \cdot 7 = 56 \] Оба случая дают полезность 56. ### Вычислим прирост полезности: Начальная полезность: 36 Новая полезность: 56 Прирост: \( 56 - 36 = 20 \) Процентное увеличение: \[ \frac{20}{36} \times 100\% \approx 55.56\% \] Таким образом, полезность Владимира увеличится приблизительно на 55.56%.