Владимир Курокоров познал настолько много, что этот мир ему стал абсолютно понятен. Удовольствие он получает только от двух вещей – от жареной картошечки (далее товар X ) и от говядины (далее товар Y ). При этом он не может есть одно из этих блюд без второго. Функция полезности Владимира имеет вид U=X⋅Y , Х и Y выражаются в единицах, U в ютилях. Владимир зарабатывает немного, всего лишь 300 рублей, и все деньги до последнего рубля он готов тратить лишь на эти два товара. Деньги, которые у него могут остаться после покупок жареной картошечки и говядины, никакой дополнительной полезности не несут, поэтому Владимир решил тратить весь свой бюджет. Жареную картошечку Владимир покупает всегда в ларьке у дома по 20 рублей за порцию, а говядину он покупает в соседнем ларьке у дома по 30 рублей за порцию. На сколько процентов вырастет полезность Владимира, если цена на говядину упадёт в 1,5 раза?

Question 1

Задача Задача №2018281

А

Аноним

26 октября 2024 12:31 · публичный вопрос

А

Аноним 26 октября 2024 12:31

Владимир Курокоров познал настолько много, что этот мир ему стал абсолютно понятен. Удовольствие он получает только от двух вещей – от жареной картошечки (далее товар X ) и от говядины (далее товар Y ). При этом он не может есть одно из этих блюд без второго. Функция полезности Владимира имеет вид U=X⋅Y , Х и Y выражаются в единицах, U в ютилях. Владимир зарабатывает немного, всего лишь 300 рублей, и все деньги до последнего рубля он готов тратить лишь на эти два товара. Деньги, которые у него могут остаться после покупок жареной картошечки и говядины, никакой дополнительной полезности не несут, поэтому Владимир решил тратить весь свой бюджет. Жареную картошечку Владимир покупает всегда в ларьке у дома по 20 рублей за порцию, а говядину он покупает в соседнем ларьке у дома по 30 рублей за порцию. На сколько процентов вырастет полезность Владимира, если цена на говядину упадёт в 1,5 раза?

Answer

Для решения этой задачи нам нужно определить, как изменится полезность Владимира при изменении цены на говядину.

Вначале давайте узнаем, какова полезность при текущих ценах. У Владимира есть 300 рублей, и он покупает жареную картошку по 20 рублей за порцию и говядину по 30 рублей за порцию.

Обозначим:

\( X \) - количество порций жареной картошки,
\( Y \) - количество порций говядины.

Лимит бюджета можно записать следующим образом:

\[ 20X + 30Y = 300 \]

Теперь давайте найдем максимальные значения \( X \) и \( Y \). Предположим, что он хочет потратить все свои деньги на эти товары.

Решим уравнение для \( Y \):

\[ Y = \frac{300 - 20X}{30} \]

Очевидно, чтобы оптимизировать полезность, нужно максимизировать произведение \( U = XY \). Мы можем выразить \( Y \) через \( X \):

\[ U = X \cdot \frac{300 - 20X}{30} \]

Далее, если мы упрощим это уравнение:

\[ U = \frac{X(300 - 20X)}{30} = 10X(300 - 20X) = 3000X - 200X^2 \]

Теперь найдем максимальное значение функции полезности. Для этого нам нужно найти производную и приравнять к нулю:

\[ \frac{dU}{dX} = 3000 - 400X = 0 \Rightarrow X = 7.5 \]

Однако \( X \) и \( Y \) должны быть целыми числами. Подставляя \( X = 7 \) и \( X = 8 \), найдем соответствующие значения \( Y \):

Если \( X = 7 \):

\[ 20 \cdot 7 + 30Y = 300 \Rightarrow 140 + 30Y = 300 \Rightarrow Y = 5.33 \text{ (не подходит)} \]

Если \( X = 8 \):

\[ 20 \cdot 8 + 30Y = 300 \Rightarrow 160 + 30Y = 300 \Rightarrow Y = 4.67 \text{ (не подходит)} \]

Воссоздадим этот расчет, чтобы находить целые числа \( X \) и \( Y \).

Оптимальные комбинации могут быть:

\( X = 5, Y = 5 \) (205 + 305 = 100 + 150 = 250 рублей, остаётся 50 рублей, что поддерживает условие).
\( X = 6, Y = 4 \).
\( X = 7, Y = 2 \).

Сравним полезности:

\( U = 5 \cdot 5 = 25 \)
\( U = 6 \cdot 4 = 24 \)
\( U = 7 \cdot 2 = 14 \)

Таким образом, максимальная полезность в этой ситуации - 25 (когда \( X = 5 \), \( Y = 5 \)).

Теперь, если цена на говядину падает в 1.5 раза, она теперь составляет 20 рублей за порцию. Пересчитаем бюджет:

\[ 20X + 20Y = 300 \Rightarrow Y = 15 - X \]

Следовательно, полезность составит:

\[ U = XY = X(15 - X) = 15X - X^2 \]

Находим максимум:

\[ \frac{dU}{dX} = 15 - 2X = 0 \Rightarrow X = 7.5 \]

Находим целые решения, сравните:

\( X = 7 \), \( Y = 8 \): \( U = 56 \) или \( X = 8 \), \( Y = 7 \) даёт тоже \( U = 56 \).

Изменение полезности:

Изначальная полезность: \( 25 \) Новая полезность: \( 56 \)

Изменение в процентах: \[ \frac{56 - 25}{25} \cdot 100\% = \frac{31}{25} \cdot 100\% = 124\% \]

Таким образом, полезность Владимира вырастет на 124%.

Question 2

Владимир Курокоров познал настолько много, что этот мир ему стал абсолютно понятен. Удовольствие он получает только от двух вещей – от жареной картошечки (далее товар X ) и от говядины (далее товар Y ). При этом он не может есть одно из этих блюд без второго. Функция полезности Владимира имеет вид U=X⋅Y , Х и Y выражаются в единицах, U в ютилях. Владимир зарабатывает немного, всего лишь 300 рублей, и все деньги до последнего рубля он готов тратить лишь на эти два товара. Деньги, которые у него могут остаться после покупок жареной картошечки и говядины, никакой дополнительной полезности не несут, поэтому Владимир решил тратить весь свой бюджет. Жареную картошечку Владимир покупает всегда в ларьке у дома по 20 рублей за порцию, а говядину он покупает в соседнем ларьке у дома по 30 рублей за порцию. На сколько процентов вырастет полезность Владимира, если цена на говядину упадёт в 1,5 раза?

Answer

Для решения этой задачи нам нужно определить, как изменится полезность Владимира при изменении цены на говядину. Вначале давайте узнаем, какова полезность при текущих ценах. У Владимира есть 300 рублей, и он покупает жареную картошку по 20 рублей за порцию и говядину по 30 рублей за порцию. Обозначим: - \( X \) - количество порций жареной картошки, - \( Y \) - количество порций говядины. Лимит бюджета можно записать следующим образом: \[ 20X + 30Y = 300 \] Теперь давайте найдем максимальные значения \( X \) и \( Y \). Предположим, что он хочет потратить все свои деньги на эти товары. Решим уравнение для \( Y \): \[ Y = \frac{300 - 20X}{30} \] Очевидно, чтобы оптимизировать полезность, нужно максимизировать произведение \( U = XY \). Мы можем выразить \( Y \) через \( X \): \[ U = X \cdot \frac{300 - 20X}{30} \] Далее, если мы упрощим это уравнение: \[ U = \frac{X(300 - 20X)}{30} = 10X(300 - 20X) = 3000X - 200X^2 \] Теперь найдем максимальное значение функции полезности. Для этого нам нужно найти производную и приравнять к нулю: \[ \frac{dU}{dX} = 3000 - 400X = 0 \Rightarrow X = 7.5 \] Однако \( X \) и \( Y \) должны быть целыми числами. Подставляя \( X = 7 \) и \( X = 8 \), найдем соответствующие значения \( Y \): - Если \( X = 7 \): \[ 20 \cdot 7 + 30Y = 300 \Rightarrow 140 + 30Y = 300 \Rightarrow Y = 5.33 \text{ (не подходит)} \] - Если \( X = 8 \): \[ 20 \cdot 8 + 30Y = 300 \Rightarrow 160 + 30Y = 300 \Rightarrow Y = 4.67 \text{ (не подходит)} \] Воссоздадим этот расчет, чтобы находить целые числа \( X \) и \( Y \). Оптимальные комбинации могут быть: - \( X = 5, Y = 5 \) (20*5 + 30*5 = 100 + 150 = 250 рублей, остаётся 50 рублей, что поддерживает условие). - \( X = 6, Y = 4 \). - \( X = 7, Y = 2 \). Сравним полезности: 1. \( U = 5 \cdot 5 = 25 \) 2. \( U = 6 \cdot 4 = 24 \) 3. \( U = 7 \cdot 2 = 14 \) Таким образом, максимальная полезность в этой ситуации - 25 (когда \( X = 5 \), \( Y = 5 \)). Теперь, если цена на говядину падает в 1.5 раза, она теперь составляет 20 рублей за порцию. Пересчитаем бюджет: \[ 20X + 20Y = 300 \Rightarrow Y = 15 - X \] Следовательно, полезность составит: \[ U = XY = X(15 - X) = 15X - X^2 \] Находим максимум: \[ \frac{dU}{dX} = 15 - 2X = 0 \Rightarrow X = 7.5 \] Находим целые решения, сравните: - \( X = 7 \), \( Y = 8 \): \( U = 56 \) или \( X = 8 \), \( Y = 7 \) даёт тоже \( U = 56 \). Изменение полезности: Изначальная полезность: \( 25 \) Новая полезность: \( 56 \) Изменение в процентах: \[ \frac{56 - 25}{25} \cdot 100\% = \frac{31}{25} \cdot 100\% = 124\% \] Таким образом, полезность Владимира вырастет на 124%.