(√81-14√5)²+(√7+√5)⁴
Давайте разберём выражение \((\sqrt{81} - 14\sqrt{5})^2 + (\sqrt{7} + \sqrt{5})^4\).
Начнём с вычисления \(\sqrt{81}\): \(\sqrt{81} = 9\). Таким образом, выражение становится: \((9 - 14\sqrt{5})^2\).
Теперь раскроем квадрат: \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\). В нашем случае \(a = 9\) и \(b = 14\sqrt{5}\): \[ (9 - 14\sqrt{5})^2 = 9^2 - 2 \times 9 \times 14\sqrt{5} + (14\sqrt{5})^2. \] Теперь высчитаем каждое слагаемое:
- \(9^2 = 81\),
- \(2 \times 9 \times 14\sqrt{5} = 252\sqrt{5}\),
- \((14\sqrt{5})^2 = 196 \times 5 = 980\).
Подставим всё обратно: \[ (9 - 14\sqrt{5})^2 = 81 - 252\sqrt{5} + 980 = 1061 - 252\sqrt{5}. \]
Теперь перейдём к вычислению \((\sqrt{7} + \sqrt{5})^4\). Для этого воспользуемся формулой \((a + b)^4\): \[ (a + b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4. \] Здесь \(a = \sqrt{7}\) и \(b = \sqrt{5}\). Сначала вычислим все степени:
- \((\sqrt{7})^4 = 49\),
- \((\sqrt{5})^4 = 25\),
- \((\sqrt{7})^3 = 7\sqrt{7}\),
- \((\sqrt{5})^3 = 5\sqrt{5}\),
- \((\sqrt{7})^2 = 7\),
- \((\sqrt{5})^2 = 5\).
Подставим обратно: \[ (\sqrt{7} + \sqrt{5})^4 = 49 + 4 \cdot 7 \cdot \sqrt{7} \cdot \sqrt{5} + 6 \cdot 7 \cdot 5 + 4 \cdot \sqrt{7} \cdot 5\sqrt{5} + 25. \] Попробуем упростить это:
- \(4 \cdot 7 \cdot \sqrt{35} = 28\sqrt{35}\),
- \(6 \cdot 7 \cdot 5 = 210\),
- \(4 \cdot \sqrt{35} = 20\sqrt{35}\).
Объединим всё: \[ 49 + 25 + 210 + 28\sqrt{35} + 20\sqrt{35} = 274 + 48\sqrt{35}. \]
Теперь объединим оба выражения: \[ (9 - 14\sqrt{5})^2 + (\sqrt{7} + \sqrt{5})^4 = (1061 - 252\sqrt{5}) + (274 + 48\sqrt{35}). \] Итоговое выражение: \[ 1061 + 274 - 252\sqrt{5} + 48\sqrt{35} = 1335 - 252\sqrt{5} + 48\sqrt{35}. \]
Таким образом, ответ будет равен: \[ 1335 - 252\sqrt{5} + 48\sqrt{35}. \] Если у вас есть дополнительные вопросы или вы хотите разобрать что-то ещё, не стесняйтесь спрашивать!
