(x²-9)/(x+2)>0

Для решения неравенства \((x²-9)/(x+2)>0\) начнем с анализа числителя и знаменателя.

1. Найдем корни числителя: Можно разложить числитель на множители: \[ x² - 9 = (x - 3)(x + 3) \] Таким образом, корни числителя: \(x = 3\) и \(x = -3\).

2. Найдем корни знаменателя: Знаменатель равен нулю, когда: \[ x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2 \]

3. Определим промежутки: У нас есть ключевые точки: \(x = -3\), \(x = -2\), и \(x = 3\). Теперь можно разбить числовую прямую на интервалы:

   • \((-\infty, -3)\)
   • \((-3, -2)\)
   • \((-2, 3)\)
   • \((3, +\infty)\)

4. Проверка знака на каждом интервале: Теперь проверим знак выражения \((x - 3)(x + 3)/(x + 2)\) в каждом интервале.

   • Для интервала \((-\infty, -3)\): возьмем, например, \(x = -4\). \[ \frac{(-4 - 3)(-4 + 3)}{-4 + 2} = \frac{(-7)(-1)}{-2} = \frac{7}{-2} < 0 \]

   • Для интервала \((-3, -2)\): возьмем \(x = -2.5\). \[ \frac{(-2.5 - 3)(-2.5 + 3)}{-2.5 + 2} = \frac{(-5.5)(0.5)}{-0.5} = \frac{-2.75}{-0.5} > 0 \]

   • Для интервала \((-2, 3)\): возьмем \(x = 0\). \[ \frac{(0 - 3)(0 + 3)}{0 + 2} = \frac{(-3)(3)}{2} = \frac{-9}{2} < 0 \]

   • Для интервала \((3, +\infty)\): возьмем \(x = 4\). \[ \frac{(4 - 3)(4 + 3)}{4 + 2} = \frac{(1)(7)}{6} > 0 \]

5. Итоговые интервалы: У нас есть положительные значения в интервалах \((-3, -2)\) и \((3, +\infty)\).

6. Решение неравенства: Учитывая, что значение в точках \(x = -3\), \(x = -2\) (знаменатель равен нулю и не допускается) и \(x = 3\) (числитель равен нулю), итоговое решение:

   \[ x \in (-3, -2) \cup (3, +\infty) \]

Таким образом, неравенство \((x²-9)/(x+2) > 0\) верно в указанных интервалах.