Дан параллелепипед ABCDA'B'C'D'. Принимая за базисные векторы e1,e2,e3 векторы DD' DC DA, найти в этом базисе координаты (a) вектора АE, где точка Е является серединой отрезка C'D' (Б) вектора EF где точка F является точкой пересечения диагоналей грани ABCD (c) вектора FM, где точка М является серединой отрезка АС'.

Давайте разберём вашу задачу по шагам, чтобы найти координаты искомых векторов в заданном базисе.

1. Определим векторы базиса:

• Вектор \( \mathbf{e_1} = \overrightarrow{DD'} \)
• Вектор \( \mathbf{e_2} = \overrightarrow{DC} \)
• Вектор \( \mathbf{e_3} = \overrightarrow{DA} \)

Теперь запишем основные координаты точек параллелепипеда:

• \( D = (0, 0, 0) \)
• \( D' = (0, 0, h) \) (где \( h \) — высота параллелепипеда)
• \( C = (a, 0, 0) \) (где \( a \) — ширина)
• \( A = (0, b, 0) \) (где \( b \) — длина)

(a) Найдём координаты вектора \( \overrightarrow{AE} \), где \( E \) — середина отрезка \( C'D' \)

Сначала вычислим координаты точки \( E \):

• \( C' = (a, 0, h) \)
• \( D' = (0, 0, h) \)

Середина отрезка \( C'D' \): \[ E = \left( \frac{a + 0}{2}, 0, h \right) = \left( \frac{a}{2}, 0, h \right) \]

Теперь найдем координаты вектора \( \overrightarrow{AE} \): \[ \overrightarrow{AE} = E - A = \left( \frac{a}{2}, 0, h \right) - (0, b, 0) = \left( \frac{a}{2}, -b, h \right) \]

Теперь представим этот вектор в новом базисе: \[ \overrightarrow{AE} = x \mathbf{e_1} + y \mathbf{e_2} + z \mathbf{e_3} \] где \( x, y, z \) - коэффициенты, которые нужно определить.

Так как \( \overrightarrow{e_1} = \overrightarrow{DD'} = (0, 0, h) \), \( \overrightarrow{e_2} = \overrightarrow{DC} = (a, 0, 0) \), \( \overrightarrow{e_3} = \overrightarrow{DA} = (0, b, 0) \), то:

• Для \( \mathbf{e_1} \) : \( z = \frac{h}{h} = 1 \)
• Для \( \mathbf{e_2} \) : \( x = \frac{a/2}{a} = \frac{1}{2} \)
• Для \( \mathbf{e_3} \) : \( y = \frac{-b}{b} = -1 \)

Итак, координаты вектора \( \overrightarrow{AE} \) в вашем базисе: \[ \left( \frac{1}{2}, -1, 1 \right) \]

(б) Найдите координаты вектора \( \overrightarrow{EF} \), где \( F \) — точка пересечения диагоналей грани \( ABCD \).

Точки \( A, B, C, D \):

• \( A = (0, b, 0) \)
• \( B = (a, b, 0) \)
• \( C = (a, 0, 0) \)
• \( D = (0, 0, 0) \)

Диагонали пересекаются в середине отрезков \( AC \) и \( BD \): \[ AC: M = \left( \frac{0 + a}{2}, \frac{b + 0}{2}, 0 \right) = \left( \frac{a}{2}, \frac{b}{2}, 0 \right) \] \[ BD: N = \left( \frac{a + 0}{2}, \frac{b + 0}{2}, 0 \right) = \left( \frac{a}{2}, \frac{b}{2}, 0 \right) \]

Таким образом, точка \( F \) совпадает с точкой \( M \).

Теперь находим \( \overrightarrow{EF} \): \[ \overrightarrow{EF} = F - E = \left( \frac{a}{2}, \frac{b}{2}, 0 \right) - \left( \frac{a}{2}, 0, h \right) = (0, \frac{b}{2}, -h) \]

Выражаем \( \overrightarrow{EF} \) в новом базисе: \[ \overrightarrow{EF} = x \mathbf{e_1} + y \mathbf{e_2} + z \mathbf{e_3} \] Сравнивая, получаем:

• \( z = -1 \)
• \( x = 0 \)
• \( y = \frac{b/2}{a} = \frac{b}{2a} \)

Координаты вектора \( EF \): \[ \left( 0, \frac{b}{2a}, -1 \right) \]

(c) Найдите координаты вектора \( \overrightarrow{FM} \), где \( M \) — середина отрезка \( AC' \).

Координаты точки \( C' \):

• \( C' = (a, 0, h) \)

Теперь находим середину отрезка \( AC' \): \[ M = \left( \frac{0 + a}{2}, \frac{b + 0}{2}, \frac{0 + h}{2} \right) = \left( \frac{a}{2}, \frac{b}{2}, \frac{h}{2} \right) \]

Находим вектор \( \overrightarrow{FM} \): \[ \overrightarrow{FM} = M - F = \left( \frac{a}{2}, \frac{b}{2}, \frac{h}{2} \right) - \left( \frac{a}{2}, \frac{b}{2}, 0 \right) = (0, 0, \frac{h}{2}) \]

Выражаем этот вектор в новым базисе: \[ \overrightarrow{FM} = x \mathbf{e_1} + y \mathbf{e_2} + z \mathbf{e_3} \]

Таким образом:

• \( x = 0 \)
• \( y = 0 \)
• \( z = \frac{h/2}{h} = \frac{1}{2} \)

Координаты вектора \( FM \): \[ \left( 0, 0, \frac{1}{2} \right) \]

Надеюсь, это помогло вам понять, как находить координаты векторов в заданном базисе! Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать.