Даны точки А (1;3); В (1;-3) и С (-3; 0).Напишите уравнение окружности,описанной около треугольника АВС

Чтобы найти уравнение окружности, описанной около треугольника ABC, нам нужно определить центры окружности (O) и радиус (R).

1. Найдем координаты вершин треугольника:

   • \( A(1, 3) \)
   • \( B(1, -3) \)
   • \( C(-3, 0) \)

2. Определим длины сторон треугольника ABC:

   • Сторона AB: \[ AB = \sqrt{(1 - 1)^2 + (3 - (-3))^2} = \sqrt{0 + 6^2} = 6 \]
   • Сторона BC: \[ BC = \sqrt{(1 - (-3))^2 + (-3 - 0)^2} = \sqrt{(1 + 3)^2 + (-3)^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = 5 \]
   • Сторона AC: \[ AC = \sqrt{(1 - (-3))^2 + (3 - 0)^2} = \sqrt{(1 + 3)^2 + 3^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = 5 \]

3. Удельные длины сторон:

   • \( a = BC = 5 \)
   • \( b = AC = 5 \)
   • \( c = AB = 6 \)

4. Найдем координаты центра описанной окружности (O) с использованием формул для координат центра окружности, описанной около треугольника: \[ O_x = \frac{a \cdot A_x + b \cdot B_x + c \cdot C_x}{a + b + c} \] \[ O_y = \frac{a \cdot A_y + b \cdot B_y + c \cdot C_y}{a + b + c} \]

   Подставим координаты:

   • \( O_x = \frac{5 \cdot 1 + 5 \cdot 1 + 6 \cdot (-3)}{5 + 5 + 6} = \frac{5 + 5 - 18}{16} = \frac{-8}{16} = -0.5 \)
   • \( O_y = \frac{5 \cdot 3 + 5 \cdot (-3) + 6 \cdot 0}{5 + 5 + 6} = \frac{15 - 15 + 0}{16} = 0 \)

   Таким образом, центр описанной окружности \( O \left(-\frac{1}{2}, 0\right) \).

5. Радиус окружности (R): Можно использовать длину любой стороны треугольника и формулу для радиуса описанной окружности: \[ R = \frac{abc}{4S} \] где \( S \) — площадь треугольника. Площадь можно найти через координаты вершин: \[ S = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right| \] Подставим координаты: \[ S = \frac{1}{2} \left| 1(-3 - 0) + 1(0 - 3) + (-3)(3 - (-3)) \right| = \frac{1}{2} \left| -3 - 3 - 18 \right| = \frac{1}{2} \cdot 24 = 12 \]

   Теперь подставим в формулу радиуса: \[ R = \frac{5 \cdot 5 \cdot 6}{4 \cdot 12} = \frac{150}{48} = \frac{25}{8} \]

6. Уравнение окружности: Теперь, когда мы знаем центр \( O \left(-\frac{1}{2}, 0\right) \) и радиус \( R = \frac{25}{8} \), уравнение окружности можно записать в виде: \[ \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + y^2 = \left(\frac{25}{8}\right)^2 \] или \[ \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + y^2 = \frac{625}{64} \]

Итак, окончательное уравнение окружности, описанной около треугольника ABC: \[ \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + y^2 = \frac{625}{64} \]