Найти наибольший множитель -9у^2-36у-32

Чтобы найти наибольший множитель многочлена \(-9y^2 - 36y - 32\), сначала можем вынести общий множитель из всех трех членов.

1. Определим общий множитель: в данном случае можно вынести \(-1\) и \(9\) (так как \(9\) является наибольшим числом, которое делит коэффициенты при \(y^2\) и \(y\)): \[ -9(y^2 + 4y + \frac{32}{9}). \]

2. Следующим шагом попробуем упростить выражение внутри скобок: \[ -9(y^2 + 4y + \frac{32}{9}). \]

3. Далее, попробуем найти корни квадратного уравнения \(y^2 + 4y + \frac{32}{9} = 0\) с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot \frac{32}{9} = 16 - \frac{128}{9} = \frac{144}{9} - \frac{128}{9} = \frac{16}{9}. \] Так как дискриминант больше нуля, у уравнения есть два действительных корня.

4. Находим корни: \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{\frac{16}{9}}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm \frac{4}{3}}{2} = \frac{-12 \pm 4}{6} = \frac{-8}{6} \text{ и } \frac{-16}{6}. \] Корни \(y = -\frac{4}{3}\) и \(y = -\frac{8}{3}\).

5. Запишем многочлен через его корни: \[ -9 \left( y + \frac{4}{3} \right) \left( y + \frac{8}{3} \right). \]

В итоге, можно представить данный многочлен в следующем виде: \[ -9\left(y + \frac{4}{3}\right)\left(y + \frac{8}{3}\right). \]

Наибольший множитель: \(-9\).