Прямая, параллельная боковой стороне трапеции делит одно её основание на отрезки с длинами 6см и 4см, а боковую сторону в отношении 2:5. Найдите другое основание трапеции.

Для решения данной задачи будем использовать свойства трапеции и пропорции.

Обозначим вершины трапеции как \( A, B, C, D \), где \( AB \) и \( CD \) — основания, а \( BC \) и \( AD \) — боковые стороны. Пусть основание \( AB \) разделяется на отрезки \( AE = 6 \, \text{см} \) и \( EB = 4 \, \text{см} \), тогда длина основания \( AB \) равна:

\[ AB = AE + EB = 6 \, \text{см} + 4 \, \text{см} = 10 \, \text{см}. \]

Далее, пусть у нас есть прямая, параллельная стороне \( AB \), которая делит боковую сторону \( AD \) в отношении \( 2:5 \). Это означает, что если обозначить длину отрезка \( AD \) как \( AD = 2x + 5x = 7x \), то длины отрезков будут:

\[ AD = 2x \quad \text{и} \quad DC = 5x. \]

Теперь, по свойству подобных треугольников, мы можем записать соотношение между отрезками на основании и длиной второго основания:

\[ \frac{AB - CD}{CD} = \frac{AE}{EB} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}. \]

Обозначим длину второго основания \( CD \) как \( x \). Подставим:

\[ \frac{10 - x}{x} = \frac{3}{2}. \]

Теперь перемножим крест-накрест:

\[ 2(10 - x) = 3x. \]

Раскроем скобки:

\[ 20 - 2x = 3x. \]

Теперь соберём все \( x \) на одной стороне:

\[ 20 = 3x + 2x, \] \[ 20 = 5x, \] \[ x = \frac{20}{5} = 4. \]

Таким образом, длина другого основания \( CD \) равна \( x = 4 \, \text{см} \).

Итак, другое основание трапеции равно 4 см.