Ha плоскости дан базис е1,е2 такой, что |е1| = √2, |е2| = 1,∠(е1,е2) = 45°. В этом базисе даны координаты вектора с (1,6). Найти его длину
Для нахождения длины вектора в заданном базисе, сначала необходимо выразить вектор через базисные векторы и затем использовать понятие длины.
Имеется базис \( \mathbf{e_1} \) и \( \mathbf{e_2} \), где:
- \( |\mathbf{e_1}| = \sqrt{2} \)
- \( |\mathbf{e_2}| = 1 \)
- угол между \( \mathbf{e_1} \) и \( \mathbf{e_2} \) равен 45°.
Координаты вектора \( \mathbf{c} \) в этом базисе: \( (1, 6) \). Это означает, что: \[ \mathbf{c} = 1 \cdot \mathbf{e_1} + 6 \cdot \mathbf{e_2} \]
Следовательно, длина вектора \( \mathbf{c} \) вычисляется по формуле: \[ |\mathbf{c}| = \sqrt{(1 \cdot |\mathbf{e_1}|)^2 + (6 \cdot |\mathbf{e_2}|)^2 + 2 \cdot (1 \cdot 6 \cdot |\mathbf{e_1}| \cdot |\mathbf{e_2}| \cdot \cos(45°))} \]
Где \( \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \).
Теперь подставляем значения:
- \( |\mathbf{e_1}| = \sqrt{2} \)
- \( |\mathbf{e_2}| = 1 \)
Тогда длина вектора будет равна: \[ |\mathbf{c}| = \sqrt{(1 \cdot \sqrt{2})^2 + (6 \cdot 1)^2 + 2 \cdot (1 \cdot 6 \cdot \sqrt{2} \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})} \]
Вычислим по частям:
- \( (1 \cdot \sqrt{2})^2 = 2 \)
- \( (6 \cdot 1)^2 = 36 \)
- \( 2 \cdot (1 \cdot 6 \cdot \sqrt{2} \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) = 2 \cdot (6 \cdot 1) = 12 \)
Теперь подставляем эти значения: \[ |\mathbf{c}| = \sqrt{2 + 36 + 12} = \sqrt{50} \]
Упрощаем: \[ |\mathbf{c}| = 5\sqrt{2} \]
Таким образом, длина вектора \( \mathbf{c} \) равна \( 5\sqrt{2} \).
