Ha плоскости дан базис е1,е2 такой, что |е1| = √2, |е2| = 1,∠(е1,е2) = 45°. В этом базисе даны координаты вектора с (1,6). Найти его длину. подробно и в словах
Чтобы найти длину вектора \( \mathbf{c} \) в заданном базисе, нужно воспользоваться тем, что длина вектора определяется как корень квадратный из суммы квадратов его компонентов в соответствующем базисе.
Начнем с того, что у нас есть вектор \( \mathbf{c} \), заданный координатами \( (1, 6) \) в базисе \( \mathbf{e}_1 \) и \( \mathbf{e}_2 \). Важно также помнить, что длина вектора в базисе определяется формулой:
\[ |\mathbf{c}| = \sqrt{|c_1|^2 \cdot |\mathbf{e}_1|^2 + |c_2|^2 \cdot |\mathbf{e}_2|^2 + 2 \cdot |c_1| \cdot |c_2| \cdot |\mathbf{e}_1| \cdot |\mathbf{e}_2| \cdot \cos(\theta)} \]
где:
- \( c_1 = 1 \) (координата по \( \mathbf{e}_1 \)),
- \( c_2 = 6 \) (координата по \( \mathbf{e}_2 \)),
- \( |\mathbf{e}_1| = \sqrt{2} \) (длина вектора \( \mathbf{e}_1 \)),
- \( |\mathbf{e}_2| = 1 \) (длина вектора \( \mathbf{e}_2 \)),
- \( \theta = 45^\circ \) (угол между векторами \( \mathbf{e}_1 \) и \( \mathbf{e}_2 \)).
Подставим известные значения в формулу. Сначала найдем \( \cos(45^\circ) \), который равен \( \frac{\sqrt{2}}{2} \).
Теперь мы можем подставить данные:
\[ |\mathbf{c}| = \sqrt{1^2 \cdot (\sqrt{2})^2 + 6^2 \cdot 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot 6 \cdot \sqrt{2} \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} \]
Упростим выражение:
- \( 1^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 1 \cdot 2 = 2 \),
- \( 6^2 \cdot 1^2 = 36 \),
- \( 2 \cdot 1 \cdot 6 \cdot \sqrt{2} \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2 \cdot 6 \cdot 1 = 12 \).
Теперь подставим эти значения в формулу для длины:
\[ |\mathbf{c}| = \sqrt{2 + 36 + 12} \]
Если все эти значения сложить, получим:
\[ |\mathbf{c}| = \sqrt{50} \]
Что можно упростить:
\[ |\mathbf{c}| = 5\sqrt{2} \]
Таким образом, длина вектора \( \mathbf{c} \) в данном базисе равна \( 5\sqrt{2} \).
