К телу приложены две горизонтальные силы 3H и корень 5 Н, тангенс угла между которыми равен tga=2. Определите модуль равнодействующей этих сил. Под каким углом B к силе F1, будет направлена равнодействующая

Чтобы найти модуль равнодействующей двух сил и угол, под которым она направлена относительно одной из них, сначала воспользуемся данными про силы и угол между ними.

Обозначим:

• Сила \( F_1 = 3 \, \text{Н} \)
• Сила \( F_2 = \sqrt{5} \, \text{Н} \)
• Тангенс угла между силами \( \tan(\alpha) = 2 \)

Сначала найдем угол \( \alpha \) между силами. Из определения тангенса:

\[ \tan(\alpha) = \frac{F_2 \sin(\alpha)}{F_1 + F_2 \cos(\alpha)} \]

Так как \( \tan(\alpha) = 2 \), можно выразить \( F_2 \sin(\alpha) \) и \( F_1 + F_2 \cos(\alpha) \) через \( F_1 \) и \( F_2 \).

Для удобства решения используем формулу для определения модуля равнодействующей \( R \) двух сил:

\[ R = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 + 2 F_1 F_2 \cos(\alpha)} \]

Для нахождения \( \cos(\alpha) \) можно использовать тригонометрическую идентичность:

\[ \tan^2(\alpha) = \frac{\sin^2(\alpha)}{\cos^2(\alpha)} \rightarrow \sin^2(\alpha) = \tan^2(\alpha) \cos^2(\alpha) \]

И подставляя \( \tan(\alpha) = 2 \):

\[ \sin^2(\alpha) = 4 \cos^2(\alpha) \]

Теперь можно воспользоваться известной идентичностью \( \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 \):

\[ 4 \cos^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 \rightarrow 5 \cos^2(\alpha) = 1 \rightarrow \cos^2(\alpha) = \frac{1}{5} \rightarrow \cos(\alpha) = \frac{1}{\sqrt{5}} \]

Теперь можем найти \( \sin(\alpha) \):

\[ \sin(\alpha) = 2 \cos(\alpha) = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} \]

Подставим значения в формулу для \( R \):

\[ R = \sqrt{(3)^2 + (\sqrt{5})^2 + 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{5} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}}} \]

Посчитаем:

\[ R = \sqrt{9 + 5 + 6} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \, \text{Н} \]

Теперь найдем угол \( B \) между равнодействующей и силой \( F_1 \). Угол \( B \) можно найти через тангенс:

\[ \tan(B) = \frac{F_2 \sin(\alpha)}{F_1 + F_2 \cos(\alpha)} = \frac{\sqrt{5} \cdot \frac{2}{\sqrt{5}}}{3 + \sqrt{5} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}}} = \frac{2}{3 + 1} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \]

Теперь находим угол \( B \):

\[ B = \tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) \]

Таким образом, модуль равнодействующей сил равен \( 2\sqrt{5} \, \text{Н} \), а угол \( B \) составляет \( \tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) \).