Для булевой функции f≡11011011 определить: Сднф Полином жегалкина принадлежность к классам Т⁰ Т¹ S M L
Для булевой функции \( f \equiv 11011011 \) необходимо определить её СДНФ (сумма ДНФ), полином Жегалкина и принадлежность к классам \( T^0, T^1, S, M, L \).
СДНФ: Для функции, заданной в виде \( 11011011 \), сначала определим, для каких комбинаций переменных функция принимает значение 1. Это бинарное представление означает, что функция равна 1 для следующих наборов:
- \( x_1x_2x_3 = 000 \) (0)
- \( x_1x_2x_3 = 001 \) (1)
- \( x_1x_2x_3 = 010 \) (2)
- \( x_1x_2x_3 = 011 \) (3)
- \( x_1x_2x_3 = 100 \) (4)
- \( x_1x_2x_3 = 101 \) (5)
- \( x_1x_2x_3 = 110 \) (6)
- \( x_1x_2x_3 = 111 \) (7)
Записываем СДНФ, отбирая те комбинации, где функция равна 1:
\[ f(x_1, x_2, x_3) = x_1 x_2' x_3' + x_1' x_2 x_3 + x_1' x_2' x_3 + x_1' x_2 x_3' + x_1 x_2 x_3' + x_1 x_2' x_3 \]
Полином Жегалкина: Полином Жегалкина можно составить, используя формулу для представления булевой функции в виде полинома над полем GF(2):
- Каждый элемент \( 1 \) в выходной строке указывает, как знак следует представлять с помощью переменных и операции XOR.
- Полином будет представлять сумму мономов, где используются операции сложения (XOR) и произведения (AND).
Принадлежность к классам \( T^0, T^1, S, M, L \):
- \( T^0 \): Это класс у функцій с числом истинных значений 0 (ноль).
- \( T^1 \): Это класс у функцій с одним истинным значением.
- \( S \): Степень функции, то есть максимальное число входных переменных, для которых функция может равняться 1.
- \( M \): Сложность функции, измеряемая по длине записи СДНФ.
- \( L \): Линейность функции, определяется по полиному Жегалкина.
Для данной функции, из 8 возможных значений, 5 значений равны 1. Следовательно, она будет принадлежать к классам \( T^2 \) (поскольку 5 > 1 и < 8), её степень \( S = 3 \) (три переменные), сложность \( M \) можно оценить по количеству мономов в СДНФ, и линейность определяется через свойства полинома Жегалкина.
Если нужны уточнения или примеры, не стесняйтесь спрашивать!
