В треугольнике ABC угол A равен ∘ 45, угол B равен ∘ 60 , √- BC = 8 6. Найдите AC.

Чтобы найти длину сторон AC в треугольнике ABC, где угол A равен 45°, угол B равен 60°, а сторона BC равна 86, мы можем воспользоваться теорией синусов.

Сначала определим угол C. Сумма углов в треугольнике составляет 180°. Таким образом:

Угол C = 180° - Угол A - Угол B = 180° - 45° - 60° = 75°.

Теперь по теореме синусов мы имеем:

\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \]

где:

• \(a\) — это сторона BC (86),
• \(b\) — это сторона AC,
• \(c\) — это сторона AB.

Подставим известные данные в формулу:

\[ \frac{86}{\sin 75°} = \frac{AC}{\sin 60°} \]

Теперь выразим AC:

\[ AC = \frac{86 \cdot \sin 60°}{\sin 75°} \]

Зная, что \(\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}\) и \(\sin 75°\) можно выразить через формулу суммы углов: \[ \sin 75° = \sin(45° + 30°) = \sin 45° \cos 30° + \cos 45° \sin 30° = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \]

Теперь подставим значения в формулу для AC:

\[ AC = \frac{86 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = \frac{86 \cdot \sqrt{3} \cdot 4}{2(\sqrt{6} + \sqrt{2})} \]

Упростим это выражение:

\[ AC = \frac{172 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} \]

Таким образом, вы можете найти численный результат, подставив значения \(\sqrt{6}\) и \(\sqrt{2}\) и вычислив окончательный ответ для длины AC.