Самостоятельная работа № 3 по теме: "Координаты и векторы" Цель работы: проверка знаний, умений, навыков по темам "Понятие вектора", "Координаты вектора и точки". "Простейшие задачи в координатах", "Скалярное произведение векторов" 1 задание Даны векторы a\{- 5; 0; 5\} 3\{- 5; 5; 0\} c\{1; - 10; - 1\} Найдите: а) 3a-3 B + 2c 6) - 2a + 3B - c в) a - B + c г) скалярное произведение векторов ав, вс, ас. 2 задание Даны векторы M(1; 2; - 2) N\{2; - 1; 5\} K\{0; - 4; 5\} , P\{3; - 4; - 2\} 1. Найдите длину вектора MN, NK, ΚΡ. 2. Вычислите угол между вектором КР и Р№. 3. Найдите координаты точки S середины отрезка МР. 3 задание Даны точки A(3; 5; 4) B(4; 6; 5) C(6; - 2; 1) D (5;-3;0) Докажите, что ABCD параллелограмм. 4 задание Даны координаты четырех вершин параллелепипеда ABCDA,B,C,D A(3; 0; 2) B(2; 4; 5) A_{1}(5; 3; 1) D(7; 1; 2) Найдите координаты остальных вершин. 5 задание Вычислите расстояние между серединами отрезков MN и PQ, если M( 2; - 1 ; N(- 4; 1; - 1) P(- 3; 1; 2) Q(1; 1; 0)

Конечно! Давайте разберем задания по теме "Координаты и векторы" поэтапно.

1 задание

Даны векторы \( \mathbf{a} = \{-5; 0; 5\} \), \( \mathbf{b} = \{-5; 5; 0\} \), \( \mathbf{c} = \{1; -10; -1\} \).

a) Найдите \( 3\mathbf{a} - 3\mathbf{b} + 2\mathbf{c} \)

Посчитаем каждый вектор:

1. \( 3\mathbf{a} = 3 \cdot \{-5; 0; 5\} = \{-15; 0; 15\} \)
2. \( -3\mathbf{b} = -3 \cdot \{-5; 5; 0\} = \{15; -15; 0\} \)
3. \( 2\mathbf{c} = 2 \cdot \{1; -10; -1\} = \{2; -20; -2\} \)

Теперь сложим все векторы:

\[ 3\mathbf{a} - 3\mathbf{b} + 2\mathbf{c} = \{-15 + 15 + 2; 0 - 15 - 20; 15 + 0 - 2\} = \{2; -35; 13\} \]

б) Найдите \( -2\mathbf{a} + 3\mathbf{b} - \mathbf{c} \)

1. \( -2\mathbf{a} = -2 \cdot \{-5; 0; 5\} = \{10; 0; -10\} \)
2. \( 3\mathbf{b} = 3 \cdot \{-5; 5; 0\} = \{-15; 15; 0\} \)
3. \( -\mathbf{c} = -\{1; -10; -1\} = \{-1; 10; 1\} \)

Теперь сложим все векторы:

\[ -2\mathbf{a} + 3\mathbf{b} - \mathbf{c} = \{10 - 15 - 1; 0 + 15 + 10; -10 + 0 + 1\} = \{-6; 25; -9\} \]

в) Найдите \( \mathbf{a} - \mathbf{b} + \mathbf{c} \)

\[ \mathbf{a} - \mathbf{b} + \mathbf{c} = \{-5 + 5 + 1; 0 - 5 - 10; 5 + 0 - 1\} = \{1; -15; 4\} \]

г) Скалярное произведение векторов \( \mathbf{a} \mathbf{b}, \mathbf{b} \mathbf{c}, \mathbf{a} \mathbf{c} \)

1. \( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (-5) \cdot (-5) + 0 \cdot 5 + 5 \cdot 0 = 25 + 0 + 0 = 25 \)
2. \( \mathbf{b} \cdot \mathbf{c} = (-5) \cdot 1 + 5 \cdot (-10) + 0 \cdot (-1) = -5 - 50 + 0 = -55 \)
3. \( \mathbf{a} \cdot \mathbf{c} = (-5) \cdot 1 + 0 \cdot (-10) + 5 \cdot (-1) = -5 + 0 - 5 = -10 \)

2 задание

Даны векторы \( \mathbf{M} = (1; 2; -2) \), \( \mathbf{N} = (2; -1; 5) \), \( \mathbf{K} = (0; -4; 5) \), \( \mathbf{P} = (3; -4; -2) \).

1. Найдите длину вектора \( \mathbf{MN}, \mathbf{NK}, \mathbf{KP} \)

• Длина вектора \( \mathbf{MN} \): \[ MN = N - M = (2 - 1, -1 - 2, 5 + 2) = (1, -3, 7) \] \[ |\mathbf{MN}| = \sqrt{1^2 + (-3)^2 + 7^2} = \sqrt{1 + 9 + 49} = \sqrt{59} \]

• Длина вектора \( \mathbf{NK} \): \[ NK = K - N = (0 - 2, -4 + 1, 5 - 5) = (-2, -3, 0) \] \[ |\mathbf{NK}| = \sqrt{(-2)^2 + (-3)^2 + 0^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} \]

• Длина вектора \( \mathbf{KP} \): \[ KP = P - K = (3 - 0, -4 + 4, -2 - 5) = (3, 0, -7) \] \[ |\mathbf{KP}| = \sqrt{3^2 + 0^2 + (-7)^2} = \sqrt{9 + 0 + 49} = \sqrt{58} \]

2. Вычислите угол между вектором \( \mathbf{KP} \) и \( \mathbf{PN} \)

Сначала найдем вектор \( \mathbf{PN} \): \[ PN = N - P = (2 - 3, -1 + 4, 5 + 2) = (-1, 3, 7) \]

Теперь используем формулу для нахождения угла \( \theta \) между двумя векторами: \[ \cos(\theta) = \frac{\mathbf{KP} \cdot \mathbf{PN}}{|\mathbf{KP}| \cdot |\mathbf{PN}|} \] Сначала найдем скалярное произведение: \[ \mathbf{KP} \cdot \mathbf{PN} = (3)(-1) + (0)(3) + (-7)(7) = -3 + 0 - 49 = -52 \] Теперь найдем длину \( |\mathbf{PN}| \): \[ |\mathbf{PN}| = \sqrt{(-1)^2 + 3^2 + 7^2} = \sqrt{1 + 9 + 49} = \sqrt{59} \] Теперь найдем угол: \[ \cos(\theta) = \frac{-52}{\sqrt{58} \cdot \sqrt{59}} \] Вычислите значение \( \theta \).

3. Найдите координаты точки \( S \) середины отрезка \( \mathbf{MP} \)

\[ S = \left(\frac{1 + 3}{2}, \frac{2 - 4}{2}, \frac{-2 - 2}{2}\right) = \left(2, -1, -2\right) \]

3 задание

Даны точки \( A(3; 5; 4) \), \( B(4; 6; 5) \), \( C(6; -2; 1) \), \( D(5; -3; 0) \).

Чтобы доказать, что ABCD является параллелограммом, нужно показать, что векторы \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{CD} \) равны, или \( \overrightarrow{AD} \) и \( \overrightarrow{BC} \) равны.

\[ \overrightarrow{AB} = B - A = (4 - 3, 6 - 5, 5 - 4) = (1, 1, 1) \] \[ \overrightarrow{CD} = D - C = (5 - 6, -3 + 2, 0 - 1) = (-1, -1, -1) \]

Векторы \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{CD} \) не равны, значит проверим \( \overrightarrow{AD} \) и \( \overrightarrow{BC} \).

\[ \overrightarrow{AD} = D - A = (5 - 3, -3 - 5, 0 - 4) = (2, -8, -4) \] \[ \overrightarrow{BC} = C - B = (6 - 4, -2 - 6, 1 - 5) = (2, -8, -4) \]

Так как \( \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} \), ABCD является параллелограммом.

4 задание

Даны координаты четырех вершин параллелепипеда:

• \( A(3; 0; 2) \)
• \( B(2; 4; 5) \)
• \( A_1(5; 3; 1) \)
• \( D(7; 1; 2) \)

Рассмотрим на пару \( A \) и \( A_1 \) (это смежные точки). Оставшиеся точки должны быть:

• Вершина \( C \) будет прямо по оси \( y \) и \( z \) от \( A_1 \).
• Вершина \( C \) можно находить как \( A_1 = (x_A + w, y_A + h, z_A + d) = (5; 3; 1) \). Найдем \( C \) так, чтобы обеспечить равенство длины по осям:

\[ C = (3 + (5 - 3), 0 + (4 - 0), 2 + (5 - 2)) = (5; 4; 5) \]

Теперь находим последнюю вершину: \[ E = D + (A - B) = (7; 1; 2) + (3 - 2, 0 - 4, 2 - 5) = (7 + 1, 1 - 4, 2 - 3) = (8; -3; -1) \]

5 задание

Даны точки \( M(2; -1) \), \( N(-4; 1) \), \( P(-3; 1) \), \( Q(1; 1) \).

Вычислите расстояние между серединами отрезков \( MN \) и \( PQ \).

Сначала находим середины отрезков.

1. Середина отрезка \( MN \): \[ S_{MN} = \left(\frac{2 - 4}{2}, \frac{-1 + 1}{2}\right) = \left(\frac{-2}{2}, 0\right) = (-1; 0) \]

2. Середина отрезка \( PQ \): \[ S_{PQ} = \left(\frac{-3 + 1}{2}, \frac{1 + 1}{2}\right) = \left(\frac{-2}{2}, 1\right) = (-1; 1) \]

Теперь находим расстояние между \( S_{MN} \) и \( S_{PQ} \):

\[ d = \sqrt{(-1 - (-1))^2 + (0 - 1)^2} = \sqrt{0 + 1} = \sqrt{1} = 1 \]

Таким образом, мы рассмотрели все задания. Если у вас остались вопросы по конкретным моментам, пожалуйста, дайте знать!