1 задание Даны векторы a\{- 5; 0; 5\} 3\{- 5; 5; 0\} c\{1; - 10; - 1\} Найдите: а) 3a-3 B + 2c 6) - 2a + 3B - c в) a - B + c г) скалярное произведение векторов ав, вс, ас. 2 задание Даны векторы M(1; 2; - 2) N\{2; - 1; 5\} K\{0; - 4; 5\} , P\{3; - 4; - 2\} 1. Найдите длину вектора MN, NK, ΚΡ. 2. Вычислите угол между вектором КР и Р№. 3. Найдите координаты точки S середины отрезка МР. 3 задание Даны точки A(3; 5; 4) B(4; 6; 5) C(6; - 2; 1) D (5;-3;0) Докажите, что ABCD параллелограмм. 4 задание Даны координаты четырех вершин параллелепипеда ABCDA,B,C,D A(3; 0; 2) B(2; 4; 5) A_{1}(5; 3; 1) D(7; 1; 2) Найдите координаты остальных вершин. 5 задание Вычислите расстояние между серединами отрезков MN и PQ, если M( 2; - 1 ; N(- 4; 1; - 1) P(- 3; 1; 2) Q(1; 1; 0)

Давайте по порядку разберем каждое из заданий.

1 задание

Даны векторы:
\( a = \{-5; 0; 5\} \)
\( B = \{-5; 5; 0\} \)
\( c = \{1; -10; -1\} \)

а) \( 3a - 3B + 2c \)

Сначала рассчитаем каждый из векторов:

• \( 3a = 3 \cdot \{-5; 0; 5\} = \{-15; 0; 15\} \)
• \( -3B = -3 \cdot \{-5; 5; 0\} = \{15; -15; 0\} \)
• \( 2c = 2 \cdot \{1; -10; -1\} = \{2; -20; -2\} \)

Теперь сложим результаты:
\( \{-15; 0; 15\} + \{15; -15; 0\} + \{2; -20; -2\} \)
= \( \{-15 + 15 + 2; 0 - 15 - 20; 15 + 0 - 2\} \)
= \( \{2; -35; 13\} \)

б) \( -2a + 3B - c \)

Посчитаем каждый вектор:

• \( -2a = -2 \cdot \{-5; 0; 5\} = \{10; 0; -10\} \)
• \( 3B = 3 \cdot \{-5; 5; 0\} = \{-15; 15; 0\} \)
• \( -c = -\{1; -10; -1\} = \{-1; 10; 1\} \)

Теперь комбинируем:
\( \{10; 0; -10\} + \{-15; 15; 0\} + \{-1; 10; 1\} \)
= \( \{10 - 15 - 1; 0 + 15 + 10; -10 + 0 + 1\} \)
= \( \{-6; 25; -9\} \)

в) \( a - B + c \)

Вычисляем:

• \( a - B = \{-5; 0; 5\} - \{-5; 5; 0\} = \{0; -5; 5\} \)
• Затем добавляем \( c \):
  \( \{0; -5; 5\} + \{1; -10; -1\} \)
  = \( \{0 + 1; -5 - 10; 5 - 1\} \)
  = \( \{1; -15; 4\} \)

г) Скалярное произведение векторов \( aB, aC, bC \)

Скалярное произведение двух векторов \( x = \{x_1; x_2; x_3\} \) и \( y = \{y_1; y_2; y_3\} \) считается как:
\( x \cdot y = x_1y_1 + x_2y_2 + x_3y_3 \).

• \( aB = a \cdot B = \{-5; 0; 5\} \cdot \{-5; 5; 0\} = -5 \cdot -5 + 0 \cdot 5 + 5 \cdot 0 = 25 + 0 + 0 = 25 \)
• \( aC = a \cdot c = \{-5; 0; 5\} \cdot \{1; -10; -1\} = -5 \cdot 1 + 0 \cdot -10 + 5 \cdot -1 = -5 + 0 - 5 = -10 \)
• \( bC = B \cdot c = \{-5; 5; 0\} \cdot \{1; -10; -1\} = -5 \cdot 1 + 5 \cdot -10 + 0 \cdot -1 = -5 - 50 + 0 = -55 \)

2 задание

Даны векторы:
\( M(1; 2; -2), N(2; -1; 5), K(0; -4; 5), P(3; -4; -2) \)

1. Найдите длину вектора MN, NK, KP.

Длина вектора \( AB \) вычисляется как:
\( |AB| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \).

• Для \( MN \):
  \( |MN| = \sqrt{(2 - 1)^2 + (-1 - 2)^2 + (5 - (-2))^2} = \sqrt{1^2 + (-3)^2 + 7^2} = \sqrt{1 + 9 + 49} = \sqrt{59} \)

• Для \( NK \):
  \( |NK| = \sqrt{(0 - 2)^2 + (-4 - (-1))^2 + (5 - 5)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-3)^2 + 0^2} = \sqrt{4 + 9 + 0} = \sqrt{13} \)

• Для \( KP \):
  \( |KP| = \sqrt{(3 - 0)^2 + (-4 - (-4))^2 + (-2 - 5)^2} = \sqrt{3^2 + 0^2 + (-7)^2} = \sqrt{9 + 0 + 49} = \sqrt{58} \)

2. Вычислите угол между вектором KP и MN.

Угол \( \theta \) можно найти с помощью формулы:
\( \cos(\theta) = \frac{u \cdot v}{|u| |v|} \), где \( u \) и \( v \) — векторы.

Сначала находим \( KP \) и \( MN \):

• \( KP = P - K = (3; -4; -2) - (0; -4; 5) = (3; 0; -7) \)
• \( MN = N - M = (2; -1; 5) - (1; 2; -2) = (1; -3; 7) \)

Теперь считаем скалярное произведение: \( KP \cdot MN = 3 \cdot 1 + 0 \cdot -3 + (-7) \cdot 7 = 3 + 0 - 49 = -46 \)

И длины: \( |KP| = \sqrt{3^2 + 0^2 + (-7)^2} = \sqrt{9 + 0 + 49} = \sqrt{58} \)
\( |MN| = \sqrt{59} \)

Теперь можем найти косинус угла: \( \cos(\theta) = \frac{-46}{\sqrt{58} \cdot \sqrt{59}} \)

Угол можно найти, применив арккосинус.

3. Найдите координаты точки S середины отрезка MP.

Координаты середины отрезка \( MP \) находятся по формуле:
\( S = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}; \frac{y_1 + y_2}{2}; \frac{z_1 + z_2}{2} \right) \).

Для \( M(1; 2; -2) \) и \( P(3; -4; -2) \): \( S = \left( \frac{1 + 3}{2}; \frac{2 + (-4)}{2}; \frac{-2 + (-2)}{2} \right) = \left( \frac{4}{2}; \frac{-2}{2}; \frac{-4}{2} \right) = (2; -1; -2) \)

3 задание

Даны точки:
\( A(3; 5; 4), B(4; 6; 5), C(6; -2; 1), D(5; -3; 0) \)

Чтобы доказать, что ABCD — параллелограмм, нужно показать, что векторы \( AB \) и \( CD \) равны, а также векторы \( AD \) и \( BC \).

Векторы:

• \( AB = B - A = (4 - 3; 6 - 5; 5 - 4) = (1; 1; 1) \)
• \( CD = D - C = (5 - 6; -3 - (-2); 0 - 1) = (-1; -1; -1) \)

\( AB \) и \( CD \) равны по модулю, но разные по направлению.

Теперь проверим \( AD \) и \( BC \):

• \( AD = D - A = (5 - 3; -3 - 5; 0 - 4) = (2; -8; -4) \)
• \( BC = C - B = (6 - 4; -2 - 6; 1 - 5) = (2; -8; -4) \)

Так как \( AD \) и \( BC \) равны, ABCD является параллелограммом.

4 задание

Координаты вершин параллелепипеда:
\( A(3; 0; 2), B(2; 4; 5), A_{1}(5; 3; 1), D(7; 1; 2) \)

Легко определить координаты остальных вершин по своим правилам. В параллелепипеде противоположные грани равны и параллельны.

Поскольку мы имеем 4 вершины, мы можем найти 2 оставшиеся:

1. Каждая деталь имеет 3 координаты и мы можем указать 3 векторов для поиска недостающих координат.
2. Параллелепипед имеет 8 вершин, и 4 уже известны, значит, нам нужно найти оставшиеся 4.

Остальные вершины:

• Признаки равенства векторов могут помочь, но вычисление базируется на перечислении.

Находим недостающие через \( (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) \).

5 задание

Определите расстояние между серединами отрезков MN и PQ.
Вам нужно сначала найти координаты середины для каждого отрезка:

Для отрезка \( MN \) (середина \( S_{MN} \)): \( M(2; -1) \), \( N(-4; 1; -1) \)
\( S_{MN} = \left( \frac{2 + (-4)}{2}; \frac{-1 + 1}{2} \right) = (-1; 0) \)

Для отрезка \( PQ \): \( P(-3; 1; 2) \), \( Q(1; 1; 0) \)
\( S_{PQ} = \left( \frac{-3 + 1}{2}; \frac{1 + 1}{2} \right) = \left( -1; 1 \right) \)

Теперь рассчитайте расстояние: \( \text{расстояние} = \sqrt{((-1) - (-1))^2 + (0 - 1)^2} = \sqrt{0 + 1} = 1 \)

Если есть какие-либо вопросы по конкретным расчислениям или другим заданиям, с радостью помогу!