Два гонщика участвуют в гонках. Им предстоит проехать 32 круга по кольцевой трассе протяжённостью 5,1 км. Оба гонщика стартовали одновременно, а на финит первый пришёл раньше второго на 6 минут. Чему равнялась скорость второго гонщика, если из-вестно, что первый гонщик в первый раз обогнал второго на круг через 51 минуту?

Question 1

Задача Задача №2022939

А

Аноним

27 октября 2024 10:57 · публичный вопрос

А

Аноним 27 октября 2024 10:57

Два гонщика участвуют в гонках. Им предстоит проехать 32 круга по кольцевой трассе протяжённостью 5,1 км. Оба гонщика стартовали одновременно, а на финит первый пришёл раньше второго на 6 минут. Чему равнялась скорость второго гонщика, если из-вестно, что первый гонщик в первый раз обогнал второго на круг через 51 минуту?

Answer

Давайте обозначим скорость первого гонщика буквой \( v_1 \) (км/ч), а скорость второго гонщика буквой \( v_2 \) (км/ч).

Расстояние и время: Общее расстояние, которое каждый гонщик должен проехать, составляет \( 32 \) круга по \( 5,1 \) км. То есть общее расстояние равно: \[ S = 32 \times 5,1 = 163,2 \text{ км} \]
Время первого гонщика: Пусть первый гонщик проехал расстояние за \( t_1 \) часов. Тогда его скорость можно выразить следующим образом: \[ v_1 = \frac{S}{t_1} = \frac{163,2}{t_1} \]
Время второго гонщика: Второй гонщик приехал на 6 минут позже первого. Поскольку 6 минут - это \(\frac{6}{60} = 0,1\) часа, то: \[ t_2 = t_1 + 0,1 \] Скорость второго гонщика: \[ v_2 = \frac{S}{t_2} = \frac{163,2}{t_1 + 0,1} \]
Первое обгон: Если первый гонщик обогнал второго через 51 минуту, то это \(\frac{51}{60} = 0,85\) часа. За это время первый гонщик проедет: \[ S_1 = v_1 \times 0,85 = \frac{163,2}{t_1} \times 0,85 = \frac{138,72}{t_1} \text{ км} \] Второй гонщик за это же время проедет: \[ S_2 = v_2 \times 0,85 = \frac{163,2}{t_1 + 0,1} \times 0,85 = \frac{138,72}{t_1 + 0,1} \text{ км} \]
Разность расстояний: Первый гонщик обогнал второго на круге, т.е. разница в пройденных расстояниях составила 5,1 км: \[ S_1 - S_2 = 5,1 \] Подставим выражения для \( S_1 \) и \( S_2 \): \[ \frac{138,72}{t_1} - \frac{138,72}{t_1 + 0,1} = 5,1 \]
Упрощение уравнения: Перемножим обе стороны на \( t_1(t_1 + 0,1) \): \[ 138,72(t_1 + 0,1) - 138,72t_1 = 5,1t_1(t_1 + 0,1) \] Упростим: \[ 138,72 \times 0,1 = 5,1t_1(t_1 + 0,1) \] \[ 13,872 = 5,1t_1^2 + 0,51t_1 \] Перейдем к уравнению: \[ 5,1t_1^2 + 0,51t_1 - 13,872 = 0 \]
Решение квадратного уравнения: Используем формулу для нахождения корней: \[ t_1 = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 5,1, b = 0,51, c = -13,872 \).

Дисдикриминант: \[ D = (0,51)^2 - 4 \cdot 5,1 \cdot (-13,872) \] \[ D = 0,2601 + 282,2448 = 282,5049 \] Корни: \[ t_1 = \frac{-0,51 \pm \sqrt{282,5049}}{2 \cdot 5,1} \]

Находим \( \sqrt{282,5049} \approx 16,81 \): \[ t_1 = \frac{-0,51 + 16,81}{10,2} \approx 1,60 \text{ ч (положительный корень)} \]
Замена в формулы скоростей: Для \( t_2 \): \[ t_2 = t_1 + 0,1 = 1,60 + 0,1 = 1,70 \text{ ч} \] Скорость второго гонщика: \[ v_2 = \frac{163,2}{1,70} \approx 96,59 \text{ км/ч} \]

Таким образом, скорость второго гонщика равнялась примерно \( 96,59 \text{ км/ч} \).

Question 2

Два гонщика участвуют в гонках. Им предстоит проехать 32 круга по кольцевой трассе протяжённостью 5,1 км. Оба гонщика стартовали одновременно, а на финит первый пришёл раньше второго на 6 минут. Чему равнялась скорость второго гонщика, если из-вестно, что первый гонщик в первый раз обогнал второго на круг через 51 минуту?

Answer

Давайте обозначим скорость первого гонщика буквой \( v_1 \) (км/ч), а скорость второго гонщика буквой \( v_2 \) (км/ч). 1. **Расстояние и время**: Общее расстояние, которое каждый гонщик должен проехать, составляет \( 32 \) круга по \( 5,1 \) км. То есть общее расстояние равно: \[ S = 32 \times 5,1 = 163,2 \text{ км} \] 2. **Время первого гонщика**: Пусть первый гонщик проехал расстояние за \( t_1 \) часов. Тогда его скорость можно выразить следующим образом: \[ v_1 = \frac{S}{t_1} = \frac{163,2}{t_1} \] 3. **Время второго гонщика**: Второй гонщик приехал на 6 минут позже первого. Поскольку 6 минут - это \(\frac{6}{60} = 0,1\) часа, то: \[ t_2 = t_1 + 0,1 \] Скорость второго гонщика: \[ v_2 = \frac{S}{t_2} = \frac{163,2}{t_1 + 0,1} \] 4. **Первое обгон**: Если первый гонщик обогнал второго через 51 минуту, то это \(\frac{51}{60} = 0,85\) часа. За это время первый гонщик проедет: \[ S_1 = v_1 \times 0,85 = \frac{163,2}{t_1} \times 0,85 = \frac{138,72}{t_1} \text{ км} \] Второй гонщик за это же время проедет: \[ S_2 = v_2 \times 0,85 = \frac{163,2}{t_1 + 0,1} \times 0,85 = \frac{138,72}{t_1 + 0,1} \text{ км} \] 5. **Разность расстояний**: Первый гонщик обогнал второго на круге, т.е. разница в пройденных расстояниях составила 5,1 км: \[ S_1 - S_2 = 5,1 \] Подставим выражения для \( S_1 \) и \( S_2 \): \[ \frac{138,72}{t_1} - \frac{138,72}{t_1 + 0,1} = 5,1 \] 6. **Упрощение уравнения**: Перемножим обе стороны на \( t_1(t_1 + 0,1) \): \[ 138,72(t_1 + 0,1) - 138,72t_1 = 5,1t_1(t_1 + 0,1) \] Упростим: \[ 138,72 \times 0,1 = 5,1t_1(t_1 + 0,1) \] \[ 13,872 = 5,1t_1^2 + 0,51t_1 \] Перейдем к уравнению: \[ 5,1t_1^2 + 0,51t_1 - 13,872 = 0 \] 7. **Решение квадратного уравнения**: Используем формулу для нахождения корней: \[ t_1 = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 5,1, b = 0,51, c = -13,872 \). Дисдикриминант: \[ D = (0,51)^2 - 4 \cdot 5,1 \cdot (-13,872) \] \[ D = 0,2601 + 282,2448 = 282,5049 \] Корни: \[ t_1 = \frac{-0,51 \pm \sqrt{282,5049}}{2 \cdot 5,1} \] Находим \( \sqrt{282,5049} \approx 16,81 \): \[ t_1 = \frac{-0,51 + 16,81}{10,2} \approx 1,60 \text{ ч (положительный корень)} \] 8. **Замена в формулы скоростей**: Для \( t_2 \): \[ t_2 = t_1 + 0,1 = 1,60 + 0,1 = 1,70 \text{ ч} \] Скорость второго гонщика: \[ v_2 = \frac{163,2}{1,70} \approx 96,59 \text{ км/ч} \] Таким образом, скорость второго гонщика равнялась примерно \( 96,59 \text{ км/ч} \).