Найдите стороны прямоугольника, если: а) его площадь равна 250 см², а одна сторона в 2,5 раза больше другой; б) его площадь равна 9м², а периметр равен 12м.
Давайте подробно разберем оба задания, чтобы найти стороны прямоугольника.
а) У нас есть прямоугольник, площадь которого равна 250 см², и одна сторона в 2,5 раза больше другой. Обозначим меньшую сторону как \( x \). Тогда большая сторона будет \( 2,5x \).
Площадь прямоугольника рассчитывается по формуле:
\[ S = \text{длина} \times \text{ширина} \]
Подставим известные значения:
\[ 250 = x \times 2,5x \]
Это уравнение упрощается до:
\[ 250 = 2,5x^2 \]
Чтобы найти \( x^2 \), разделим обе стороны уравнения на 2,5:
\[ x^2 = \frac{250}{2,5} = 100 \]
Теперь извлечем корень из обеих сторон:
\[ x = \sqrt{100} = 10 \]
Теперь находим более длинную сторону:
\[ 2,5x = 2,5 \times 10 = 25 \]
Таким образом, стороны прямоугольника: \( 10 \) см и \( 25 \) см.
б) В этом случае площадь прямоугольника равна 9 м², а периметр равен 12 м. Обозначим стороны прямоугольника как \( a \) и \( b \). Мы знаем, что:
\[ S = a \times b = 9 \]
и
\[ P = 2(a + b) = 12 \]
Из второго уравнения найдем сумму сторон:
\[ a + b = \frac{12}{2} = 6 \]
Теперь у нас есть две системы уравнений:
- \( a \times b = 9 \)
- \( a + b = 6 \)
Из второго уравнения можем выразить одну из сторон через другую. Например, \( b = 6 - a \). Подставим это значение в первое уравнение:
\[ a \times (6 - a) = 9 \]
Раскроем скобки:
\[ 6a - a^2 = 9 \]
Перепишем уравнение в стандартной форме:
\[ a^2 - 6a + 9 = 0 \]
Это уравнение можно представить как полный квадрат:
\[ (a - 3)^2 = 0 \]
Следовательно, \( a - 3 = 0 \), откуда \( a = 3 \). Подставим \( a \) обратно, чтобы найти \( b \):
\[ b = 6 - a = 6 - 3 = 3 \]
Таким образом, стороны прямоугольника равны \( 3 \) м и \( 3 \) м (это квадрат).
В итоге, мы нашли стороны прямоугольников для обоих заданий:
- \( 10 \) см и \( 25 \) см.
- \( 3 \) м и \( 3 \) м.
