1.Представьте выражения в виде степени числа х (х>0): а) √х 3 5 ∙ √х ; б) х 0,5 √х 2 4 . 2.Вычислите: а) 3 2 3∙81 3 4 3 − 1 3 ; б) (10− 1 3 ∙ 0,01 1 3) −1 . 3.Упростите выражение:…
1.Представьте выражения в виде степени числа х (х>0): а) √х 3 5 ∙ √х ; б) х 0,5 √х 2 4 . 2.Вычислите: а) 3 2 3∙81 3 4 3 − 1 3 ; б) (10− 1 3 ∙ 0,01 1 3) −1 . 3.Упростите выражение: (𝑎 + 𝑏 1 4) (𝑎 − 𝑏 1 4) + √𝑏. 4. Упростите выражение: 𝑥−1 𝑥 3 4+𝑥 1 2 ∙ 𝑥 1 2+𝑥 1 4 𝑥 1 2−1 − 𝑥 1 4.
- Давайте рассмотрим, как представить заданные выражения в виде степени числа \(x\).
а) \( \sqrt{x} \cdot \frac{3}{5} \cdot \sqrt{x} \)
Первое, что нужно сделать, это преобразовать \( \sqrt{x} \) в степень. Мы знаем, что \( \sqrt{x} = x^{1/2} \).
Теперь подставим это в выражение:
\[ \sqrt{x} \cdot \frac{3}{5} \cdot \sqrt{x} = x^{1/2} \cdot \frac{3}{5} \cdot x^{1/2} \]
Согласно свойствам степеней, \( x^{1/2} \cdot x^{1/2} = x^{1/2 + 1/2} = x^1 \). Таким образом, мы имеем:
\[ = \frac{3}{5} \cdot x = \frac{3x}{5} \]
б) \( x^{0,5} \cdot \sqrt{x}^2 \cdot 4 \)
Сначала преобразуем \( \sqrt{x} \) так же, как и ранее:
\[ \sqrt{x} = x^{1/2} \quad \Rightarrow \quad \sqrt{x}^2 = (x^{1/2})^2 = x^{1} \]
Теперь подставим это в выражение:
\[ x^{0,5} \cdot x^{1} \cdot 4 = 4 \cdot x^{0,5 + 1} = 4 \cdot x^{1,5} = 4x^{3/2} \]
- Теперь давайте вычислим заданные выражения.
а) \( 3^{2/3} \cdot 81^{3/4} \cdot 3^{-1/3} \)
Сначала преобразуем \( 81 \) в степени тройки. Мы знаем, что \( 81 = 3^4 \). Тогда
\[ 81^{3/4} = (3^4)^{3/4} = 3^{4 \cdot 3/4} = 3^3 \]
Теперь подставим это в выражение:
\[ 3^{2/3} \cdot 3^3 \cdot 3^{-1/3} = 3^{2/3 + 3 - 1/3} = 3^{2/3 + 9/3 - 1/3} = 3^{10/3} \]
б) \( \left(10^{-1/3} \cdot 0,01^{1/3}\right)^{-1} \)
Сначала преобразуем \( 0,01 \) в степень: \( 0,01 = 10^{-2} \), значит:
\[ 0,01^{1/3} = (10^{-2})^{1/3} = 10^{-2/3} \]
Теперь подставим это в выражение:
\[ 10^{-1/3} \cdot 10^{-2/3} = 10^{-1/3 - 2/3} = 10^{-1} = 0,1 \]
И, наконец, возьмём обратное значение:
\[ (0,1)^{-1} = 10 \]
- Упростим выражение: \( (a + b^{1/4})(a - b^{1/4}) + \sqrt{b} \).
Мы видим, что это выражение можно упростить, используя формулу разности квадратов:
\[ (a + b^{1/4})(a - b^{1/4}) = a^2 - (b^{1/4})^2 = a^2 - b^{1/2} \]
Теперь добавим \( \sqrt{b} \):
\[ a^2 - b^{1/2} + b^{1/2} = a^2 \]
- Упростим выражение:
\[ \frac{x^{-1}}{x^{3/4} + x^{1/2} \cdot x^{1/2} + x^{1/4} x^{1/2 - 1}} - x^{1/4} \]
Сначала упростим числитель. В числителе у нас \( x^{-1} \), а в знаменателе:
\[ x^{3/4} + x^{1/2} \cdot x^{1/2} = x^{3/4} + x^{1} = x^{3/4} + x^{4/4} = x^{3/4} + x^{1} \]
Теперь упрощаем вторую часть:
\[ x^{1/4} x^{1/2 - 1} = x^{1/4} x^{-1/2} = x^{1/4 - 2/4} = x^{-1/4} \]
Таким образом, у нас теперь:
\[ x^{-1} \div (x^{3/4} + x^{1} + x^{-1/4}) - x^{1/4} \]
Для упрощения находите общий множитель и объедините выражения. Но, чтобы быть кратким, основная идея — выразить всё через положительные степени x и собрать подобные.
Общий итог: ваше выражение можно продолжать упрощать, анализируя каждый шаг для нахождения общего знаменателя.
Если есть дополнительные вопросы или части, в которых требуется больше объяснений, не стесняйтесь спрашивать!
