Во сколько раз увеличится площадь поверхности правильной треугольной призмы, если все её рёбра увеличить в три раза, а форму оставить прежней
Чтобы узнать, во сколько раз увеличится площадь поверхности правильной треугольной призмы при увеличении всех её рёбер в три раза, давайте рассмотрим, как масштабирование влияет на площади.
Пусть первоначальная длина рёбер призмы равна \( a \). Тогда площадь основания правильной треугольной призмы (основание — равносторонний треугольник) можно выразить через формулу:
\[ S_{основание} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \]
Площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы выражается как:
\[ S_{боковая} = P_{основание} \times h, \] где \( P_{основание} \) — периметр основания, а \( h \) — высота призмы.
Если все рёбра увеличиваются в 3 раза, новая длина рёбер составляет \( 3a \). Тогда новая площадь основания станет:
\[ S'_{основание} = \frac{\sqrt{3}}{4} (3a)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 9a^2 = 9 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = 9 S_{основание}. \]
Поскольку все размеры, включая высоту, также увеличиваются в 3 раза, новая высота будет \( 3h \). Тогда новая площадь боковой поверхности будет:
\[ S'_{боковая} = P'_{основание} \times h' = (3P_{основание}) \times (3h) = 9 \cdot P_{основание} \cdot h = 9 S_{боковая}. \]
Итак, полная площадь поверхности правильной треугольной призмы (сумма площади оснований и боковой поверхности):
\[ S_{total} = 2S_{основание} + S_{боковая}. \]
Определим новую полную площадь:
\[ S'_{total} = 2S'_{основание} + S'_{боковая} = 2 \cdot 9 S_{основание} + 9 S_{боковая} = 18 S_{основание} + 9 S_{боковая} = 9(2 S_{основание} + S_{боковая}) = 9 S_{total}. \]
Таким образом, площадь поверхности правильной треугольной призмы увеличится в 9 раз при увеличении всех рёбер в три раза.
