площадь основания конуса 144П, L = 13. Найти объем

Чтобы найти объем конуса, нужно использовать формулу:

\[ V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot h, \]

где \( V \) — объем, \( S \) — площадь основания конуса, а \( h \) — высота конуса.

У нас есть площадь основания конуса \( S = 144\pi \), но высоты \( h \) нет; вместо этого у нас есть длина образующей \( L = 13 \). Чтобы найти высоту \( h \), можно воспользоваться теоремой Пифагора.

Площадь основания конуса \( S \) равна:

\[ S = \pi r^2, \]

где \( r \) — радиус основания конуса. Из уравнения \( S = 144\pi \) можно найти \( r \):

\[ \pi r^2 = 144\pi \] \[ r^2 = 144 \] \[ r = 12. \]

Теперь, используя образующую \( L \) и радиус \( r \), мы можем найти высоту \( h \):

\[ L^2 = r^2 + h^2. \]

Подставим известные значения:

\[ 13^2 = 12^2 + h^2 \] \[ 169 = 144 + h^2 \] \[ h^2 = 169 - 144 \] \[ h^2 = 25 \] \[ h = 5. \]

Теперь мы можем подставить значения в формулу для объема:

\[ V = \frac{1}{3} \cdot 144\pi \cdot 5. \]

Вычислим:

\[ V = \frac{1}{3} \cdot 720\pi \] \[ V = 240\pi. \]

Таким образом, объем конуса равен \( 240\pi \).