Даны векторы =-2i + j -2k, b =i -4j -6k с= 3i - 4j - 4k . Чему равна проекция вектора 3c-b на ось вектора а?

Чтобы найти проекцию вектора \(3\mathbf{c} - \mathbf{b}\) на ось вектора \(\mathbf{a}\), нужно выполнить несколько шагов. Начнем с определения векторов:

1. Векторы: \[ \mathbf{a} = -2\mathbf{i} + \mathbf{j} - 2\mathbf{k} \] \[ \mathbf{b} = \mathbf{i} - 4\mathbf{j} - 6\mathbf{k} \] \[ \mathbf{c} = 3\mathbf{i} - 4\mathbf{j} - 4\mathbf{k} \]

2. Вычислим \(3\mathbf{c} - \mathbf{b}\): Сначала найдем \(3\mathbf{c}\): \[ 3\mathbf{c} = 3(3\mathbf{i} - 4\mathbf{j} - 4\mathbf{k}) = 9\mathbf{i} - 12\mathbf{j} - 12\mathbf{k} \]

   Теперь вычтем \(\mathbf{b}\): \[ 3\mathbf{c} - \mathbf{b} = (9\mathbf{i} - 12\mathbf{j} - 12\mathbf{k}) - (\mathbf{i} - 4\mathbf{j} - 6\mathbf{k}) \] \[ = (9 - 1)\mathbf{i} + (-12 + 4)\mathbf{j} + (-12 + 6)\mathbf{k} \] \[ = 8\mathbf{i} - 8\mathbf{j} - 6\mathbf{k} \]

3. Теперь найдем проекцию вектора \(3\mathbf{c} - \mathbf{b}\) на вектор \(\mathbf{a}\): Формула проекции вектора \(\mathbf{v}\) на вектор \(\mathbf{u}\) выглядит так: \[ \text{proj}_{\mathbf{u}} \mathbf{v} = \frac{\mathbf{v} \cdot \mathbf{u}}{\mathbf{u} \cdot \mathbf{u}} \mathbf{u} \] Где \(\cdot\) обозначает скалярное произведение.

   Подставим \(\mathbf{v} = 8\mathbf{i} - 8\mathbf{j} - 6\mathbf{k}\) и \(\mathbf{u} = \mathbf{a} = -2\mathbf{i} + \mathbf{j} - 2\mathbf{k}\).

   Сначала найдем скалярное произведение \(\mathbf{v} \cdot \mathbf{u}\): \[ \mathbf{v} \cdot \mathbf{u} = (8)(-2) + (-8)(1) + (-6)(-2) = -16 - 8 + 12 = -12 \]

   Теперь найдем \(\mathbf{u} \cdot \mathbf{u}\): \[ \mathbf{u} \cdot \mathbf{u} = (-2)^2 + 1^2 + (-2)^2 = 4 + 1 + 4 = 9 \]

   Теперь подставим в формулу проекции: \[ \text{proj}_{\mathbf{a}} (3\mathbf{c} - \mathbf{b}) = \frac{-12}{9} \mathbf{a} \] \[ = -\frac{4}{3} (-2\mathbf{i} + \mathbf{j} - 2\mathbf{k}) = \frac{8}{3}\mathbf{i} - \frac{4}{3}\mathbf{j} + \frac{8}{3}\mathbf{k} \]

Таким образом, проекция вектора \(3\mathbf{c} - \mathbf{b}\) на ось вектора \(\mathbf{a}\) равна: \[ \frac{8}{3}\mathbf{i} - \frac{4}{3}\mathbf{j} + \frac{8}{3}\mathbf{k} \]